(27) 电场能的性质

4 AB 5 4 AC 5
BA
BA
AB
AD
故 UAC=UAD，即 φ A－φ C=φ A－φ D，φ C=φ D.
连接 C 和 D，CD 即为此电场中的一条等势线， 过 A 作 CD 的垂线与 CD 交于 P.根据电场线和等势面 （线）垂直，且指向低电势一方，故应有一条电场 线沿此垂线，且场强方向由 A 指向 P，由 E=UAP/dAP， 其中 dAP=ACcos 30°，故场强 E 的大小为 U 15 E= V/m≈3.8×102 AC cos 30 4.5 10 3 / 2
类型三：匀强电场中的电场强度和电势差的关 系 【例 3】 电荷量 q=－2.0×10-5 C 的电荷在匀强 电场中由 A 点移动至 B 点时电场力做的功为 6.0×10-4 J，若把它从 A 点移至电场中的 C 点，电 场力做的功为－3.0×10-4 J，已知 A、B 连线与 A、C 连线夹 120°角，AB=9.0 cm，AC=4.5 cm，求 A、B 两点的电势差和电场强度. 思路点拨：由于电场力做功 W=qU 与路径无关，只 与初、末位置间的电势差有关，故依据已知电场力 做功求出电势差，再根据匀强电场中场强和电势差 的关系确定场强关系.反之亦然.
类型二：电场中的功能关系 【例 2】 （2008 年广东理科基础）空间存在竖 直向上的匀强电场，质量为 m 的带正电的微粒水平 射入电场中，微粒的运动轨迹如图 6－2－3 所示， 在相等的时间间隔内（ ）
图 6－2－3 A.重力做的功相等 B.电场力做的功相等 C.电场力做的功大于重力做的功 D.电场力做的功小于重力做的功
图 6－2－1 A.φ A＞φ B＞φ C B.EC＞EB＞EA C.UAB＜UBC D.UAB=UBC
思路点拨：理解等势面、电场线所反应的物理 量的关系. 解析： 选 诊断 结 项 论 A 沿电场线方向电势降低 A对 B 电场线越密的地方场强越大 B 对 C、 A、 间的场强小于 B、 间场 C 对 D B C 强， A、 间电势差小于 B、D 错 故 B C 间电势差 答案：ABC. 思维总结：电场线的方向反映了电势的高低， 电场线和等差等势面的疏密反映了场强的大小.
解析：据题意作出图，
图 6－2－5 W 6.0 10 由 WAB=qUAB，得 UAB= V=－30 V q 2.0 10 又由 WAC=qUAC， W 3.0 10 得 UAC= V=15 V q 2.0 10 延长 BA 至 D，使 AD=AB/2=（9.0/2）cm=4.5 cm. U U U U 由 E= 知 =2，得 UAD= =15 V d U 2 2
思路点拨：
做的功的大小关系 解析：带电微粒的轨迹向上弯曲，说明带电微 粒所受的合力向上，微粒竖直方向上做匀加速运动， 相等时间内在竖直方向上的位移不相等，A、B 均错； 因微粒所受的合力向上，所以电场力大于重力，故 电场力做的功大于重力做的功，C 对 D 错. 答案：C.
方法技巧：电场中的功能关系有以下几种情况： ①只有电场力做功，电势能和动能之和不变. ②只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、 动能三者之和不变. ③除重力外，其他各力对物体做的功等于物体 机械能的变化.
Eqr v 解析：小球在 A 点时，Eq=m ，解得 vA= r m 小球由 A 到 B 过程由动能定理得 1 2 1 2 Eq·2r= mvB － mvA 2 2 v 在 B 点时：FB－Eq=m .解得 FB=6Eq. r Eqr 答案： 6Eq m
A
2
2
B
考点演练
达标提升 1.如图 6－2－6 所示的匀强电场 E 的区域内， 由 A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成 一正方体空间，电场方向与面 ABCD 垂直.下列说法 中正确的是（ BD ）
（3）电势差：①定义：电场中两点间电势的差 值. ②表达式：UAB=φ A－φ B.电势差与电场力做功的 W 关系 UAB= q ③电势差与电场强度的关系： 匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这 两点沿电场方向的距离的乘积，即 UAB=Ed. 温馨提示：①电势差与电势零点的选取无关. ②公式 UAB=Ed 只适用于匀强电场.
3 d= AB sin 60°=4×10 × m=2 3 ×10-2 m. 2 W 3 10 A、 两点的电势差 UAB= B V=－10 3 q 1.0 10
-2
9 10
V.
U 10 3 该电场的电场强度 E= d 2 3 10
V/m. 答案：5×10 V/m
2
2
V/m=5×10
AP 2
V/m. 答案：－30 V 3.8×102 V/m U 方法技巧：公式 E= 只适用于匀强电场，非匀 d 强电场不能使用.d 是沿电场线两点间的距离，如果 不沿着电场线方向，应投影在电场方向上，看投影 距离.
针对训练 3－1：匀强电场中有 A、B、C 三点构 成等边三角形， 边长 均为 4 cm ，将一 带 电荷量 q=1.0×10-10 C 的正电荷（不计重力） ，从 A 点移到 C -9 点，电场力做功为－ 3 ×10 J，若把同一电荷从 A 点移到 B 点，电场力做功也为－ 3 ×10-9 J，那么该 电场的场强是多大? 解析：如图所示，把正电荷从电场中的 A 点分 别移到 C 点或 B 点，电场力做的功相同，根据 W=qU 可知，B、C 两点电势相同，在同一等势面上，由于 电场中的等势面与电场线垂直，则 A 点与 BC 等势面 在场强方向的距离为
A.甲粒子经过 c 点时与乙粒子经过 d 点时具有 相同的动能 B.甲、乙两个粒子带异种电荷 C.若取无穷远处为零电势，则甲粒子经过 c 点 时的电势能小于乙粒子经过 d 点时的电势能 D.两粒子经过 b 点时具有相同的电势能 解析：从运动轨迹可见，甲、乙两粒子都经过 相同的等势面，电场力所做功的大小一样；但甲粒 子受引力，乙粒子受斥力，故甲、乙两个粒子带异 种电荷，B 正确；甲粒子从 a 到 c 电场力做正功，电 势能减少，动能增加；乙粒子从 a 到 d 电场力做负 功，电势能增加，动能减少，A 错，C 正确；两粒子 所带的电荷的性质不同，所以电势能在同一点 b 一 定不同，D 错. 答案：BC.
解析：由 A 到 C，电子的速度越来越小，可知其 动能越来越小，电势能越来越大，电场力做负功， 由此可知，这是负点电荷形成的电场，越靠近负点 电荷，电子受的电场力越大，故 A 错 B 对；又因越 靠近负点电荷，电势越低，故 C 对；因 A、B 间场强 小于 B、C 间场强，所以 UAB＜UBC，D 错. 答案：BC.
2
备选例题
【例 1】 如图所示，虚线方框内为一匀强电场 区域，电场线与纸面平行，A、B、C 为电场中的三个 点，三点电势分别为 φ A=12 V，φ B=6 V，φ C=－6 V. 试在方框内作出该电场的示意图（即画出几条电场 线） 要保留作图时所用的辅助线.若将一个电子从 A ， 点移到 B 点，电场力做多少电子伏的功？
【例 2】 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置， 它与以正点电荷 Q 为圆心的某一圆交于 B、C 两点， 质量为 m，带电荷量为－q 的有孔小球从杆上 A 点无 初速下滑，已知 q 远小于 Q，AB=h，小球滑到 B 点时 速度大小为 3gh ，求：
（1）小球由 A 到 B 过程中电场力做的功. （2）A、C 两点的电势差.
第二单元 电场能的性质
基础整合
1.电场力做功的特点和电势能 （1）电场力做功：在电场中移动电荷时，电场 力做的功只与起始位置和终止位置有关，与电荷经 过的路径无关. （2）电势能：由于移动电荷时静电力做的功与 移动的路径无关，电荷在电场中也具有势能，叫做 电势能，用 Ep 表示.
（3）电场力做功与电势能的关系 ①静电力做的功等于电势能的减少量， WAB=EpA 即 －EpB. ②电荷在某点具有的电势能等于静电力把它从 该点移动到零势能位置时所做的功.即电势能是相 对的，通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能 规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能规定为 零.
解析：作图方法：①将 A、C 连结，并将其三等 分， 靠近 A 点的等分点 D 与 B 点等电势， D=φ B=6 V. φ ②用虚线连结 B、D，BD 为该电场中的一个等势 面（如图所示）.
③沿 AC 方向电势降低， 故电场线方向应垂直 BD Fra Baidu bibliotek向下（实线所示）. UAB=φ A－φ B=12 V－6 V=6 V 所以 WAB=－eUAB=－6 eV. 答案：见解析
AB
典例研析
类型一：由等势面、电场线判断电势、电场强 度、电势差 【例 1】 （2008 年江苏卷）如图 6－2－1 所示， 实线为电场线，虚线为等势线，且 AB=BC，电场中的 A、B、C 三点的场强分别为 EA、EB、EC，电势分别为 φ A、φ B、φ C，AB、BC 间的电势差分别为 UAB、UBC， 则下列关系中正确的有（ ）
针对训练 2－1： （2009 年安徽师大附中一模） 如图 6－2－4 所示，a、b 是一个点电荷形成的电场 中同一等势面上的两点，c、d 是另一等势面上的两 点.实线 acb 和 adb 分别是甲、乙两带电粒子的运动 轨迹.已知两粒子在 a 点具有相同的动能，下列判断 中正确的是（ ）
图 6－2－4
AB
【例 3】 如图所示，一绝缘细圆环半径为 r， 其环面固定在水平面上，场强为 E 的匀强电场与圆 环平面平行，环上穿有一电荷量为+q、质量为 m 的 小球，可沿圆环做无摩擦的圆周运动，若小球经 A 点时速度 vA 的方向恰与电场方向垂直，且圆环与小 球 间 沿 水 平 方 向 无 力 的 作 用 ， 则 速 度 vA=________________.当小球运动到与 A 点对称的 B 点时，小球所受圆环在水平方向的作用力 FB=________________.
针对训练 1－1：如图 6－2－2 所示的同心圆是 电场中的一簇等势面，一个电子只在电场力作用下 沿着直线由 A 向 C 运动时的速度越来越小， 为线段 B AC 的中点，则有（ ）
图 6－2－2 A.电子沿 AC 运动时受到的电场力越来越小 B.电子沿 AC 运动时它具有的电势能越来越大 C.电势 φ A＞φ B＞φ C D.电势差 UAB=UBC
图 6－2－6
A.AD 两点间的电势差 UAD 与 AA′两点间电势差U 相等
AA
B.带正电的粒子从 A 点沿路径 A→D→D′移到 D′点，电场力做正功 C.带负电的粒子从 A 点沿路径 A→D→D′移到 D′点，电势能减小 D.带电的粒子从 A 点移到 C′点， 沿对角线 AC′ 与沿路径 A→B→B′→C′电场力做功相同 解析：在匀强电场中因 AD 垂直于电场线方向， 则 φ A=φ D，UAD=0，而U ≠0，故 A 错；因 φ D＞ ， 则从 A→D→D′移动正电荷电场力做正功，B 对；从 A→D→D′移动负电荷， 电场力做负功， 电势能增加， C 错；电场力做功与路径无关，只与两点间电势差有 关，故 D 正确.
1 2 解析： （1）由动能定理：WAB+mgh= mvB ， 2
代入 vB= 3gh ，
1 1 得 WAB= m·3gh－mgh= mgh. 2 2 （2）因为 B、C 在同一个等势面上，则 UAB=UAC. mgh W UAC=UAB= =－ . q 2q mgh 1 答案： （1） mgh （2）－ 2 2q
2.电势、等势面、电势差 （1）电势：①定义：电荷在电场中某一点的 电势能与它的电荷量的比值. E ②表达式：φ = . q
p
温馨提示：电势由电场本身及电势零点的选取 决定，与 Ep、q 无关. （2）等势面：①定义：电场中电势相同的各点 构成的面.
②特点： a.在等势面上移动电荷，电场力不做功. b.等势面一定与电场线垂直，即与场强方向 垂直. c.电场线总是由电势高的等势面指向电势低的 等势面. d.等差等势面的疏密表示电场的强弱（等差等 势面越密的地方，电场线越密）. e.任意两等势面不相交.