1.6离散系统的系统函数因果系统
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d m d m 1 z 1 d1 z ( m 1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m 1 z dm z Dm ( z )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z 1 )
z e j
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
1.7.1 全通数字滤波器
1 1 1 az z a 1 H ( z ) H1 ( z )(z 1 a ) H ( z )( 1 az ) 1 1 1 az 1 az1
故
H(z) =Hmin(z) A1(z)
1.7.2 最小相位系统
例: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1.7.2 最小相位系统
h(k ) 0, k 0
H(z)的收敛域ROC包含∞
离散LTI系统稳定的充要条件：
k
h[k ]
H(z)的收敛域ROC包含单位圆
因此，离散LTI系统因果稳定的充要条件是：
H(z)的收敛域ROC即包含单位圆也包含∞
因果系统H(z)的极点位于z平面单位圆内时,系统稳定
例： 已知一离散LTI系统的系统函数为
1 H ( z) (1 2 z 1 )(1 3z 1 ) 判断系统的稳定性和因果性。
解：
(1) |z|3 系统不稳定、因果
h[k ] (2 k 1 3k 1 )u[k ]
(2) 2|z|3 系统不稳定， 非因果
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
A1 ( e j ) e j 1 d e j 1 de j
A1 (e j ) 1
1.7.1 全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
定义： 零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为 最小相位系统。记为Hmin(z)。 零点全在单位圆外的稳定的因果系统称为最 大相位系统 。记为Hmax(z) 例: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
显然，该因果稳定系统为最大相位系统。
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
由于系统的零点为z = 1/b，故这不是一最小相位系统。
b z 1 bz 1 bz1 b z 1 H ( z) 1 1 1 1 1 az 1 bz 1 az 1 bz
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
1
1
1 bz1 H min ( z ) 1 az1
1.7.3 最小相位系统
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相 位系统具有最大的相位，最小的延时。
数字信号处理
(Digital Signal Processing) 第1章 离散信号与系统分析基础
第1章 离散信号与系统
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 离散时间信号 离散时间系统 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换与反变换 离散系统的系统函数 全通滤波器与最小相位系统 时域抽样与频域抽样
对于离散LTI系统: y[k]=x [k]*h[k] Y(z)=H(z)X(z)
H(z)=Y(z)/X(z)=Z{h[k]} H(z)称为离散LTI系统的系统函数
当H(z) 的ROC包含单位圆时
H (e ) H ( z) z e
j
j
1.6.1 系统函数与系统稳定性
离散 LTI系统为因果系统的充要条件：
(3) |z|2 系统稳定、非因果
h[k ] 2
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
1.7.1 全通数字滤波器
全通滤波器的定义： 如果滤波器的幅频特性对所有频率均为常 数或者1，则系统为全通滤波器，即有
H (e ) 1
wk.baidu.com
j
0 2
H (e ) e
j
1.6 离散时间系统函数H(z)
对于离散LTI系统:
n 0
N
an y[k n] bn x[k n]
n 0 M
M
Y ( z) H ( z) X ( z)
n 0
n 0 N
bn z an z
n
n
H(z) 为离散LTI系统的系统函数。
1.6 离散时间系统函数H(z)
j ( )
0 2
1.7.1 全通数字滤波器
1.一阶全通数字滤波器
一阶因果稳定的全通滤波器的系统函数 定义为： 1
z d A1 ( z ) 1 dz 1
e j d 1 de j
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
1.7.1 全通数字滤波器 2. m阶实系数全通数字滤波器
d m d m 1 z 1 d1 z ( m 1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m 1 z dm z Dm ( z )
1
1.7.2 最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外， |a|<1，那么H(z)就能表示成
H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
1.7.1 全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 d [1 r cos( )]2 r 2 sin 2 ( )
(b) m阶实系数全通滤波器的极点和零点
(a) m阶全通滤波器的幅度响应
由于：Am ( z ) Am ( z 1 )
Am ( e
j 2
z m Dm ( z 1 ) z m Dm ( z ) Dm ( z ) Dm ( z 1 )
z e j
1
) Am ( z ) Am ( z 1 )
1
1.7.1 全通数字滤波器
1 1 1 az z a 1 H ( z ) H1 ( z )(z 1 a ) H ( z )( 1 az ) 1 1 1 az 1 az1
故
H(z) =Hmin(z) A1(z)
1.7.2 最小相位系统
例: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1.7.2 最小相位系统
h(k ) 0, k 0
H(z)的收敛域ROC包含∞
离散LTI系统稳定的充要条件：
k
h[k ]
H(z)的收敛域ROC包含单位圆
因此，离散LTI系统因果稳定的充要条件是：
H(z)的收敛域ROC即包含单位圆也包含∞
因果系统H(z)的极点位于z平面单位圆内时,系统稳定
例： 已知一离散LTI系统的系统函数为
1 H ( z) (1 2 z 1 )(1 3z 1 ) 判断系统的稳定性和因果性。
解：
(1) |z|3 系统不稳定、因果
h[k ] (2 k 1 3k 1 )u[k ]
(2) 2|z|3 系统不稳定， 非因果
h[k ] 2k 1 u[k ] 3k 1 u[k 1]
A1 ( e j ) e j 1 d e j 1 de j
A1 (e j ) 1
1.7.1 全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(b) 一阶全通滤波器的极点和零点 z 1 re j A1 ( z ) 1 re j z 1
定义： 零极点都在 z 平面单位圆内的因果系统称为 最小相位系统。记为Hmin(z)。 零点全在单位圆外的稳定的因果系统称为最 大相位系统 。记为Hmax(z) 例: 一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为
b z H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
显然，该因果稳定系统为最大相位系统。
b z 1 H ( z) , a 1, b 1 1 1 az
由于系统的零点为z = 1/b，故这不是一最小相位系统。
b z 1 bz 1 bz1 b z 1 H ( z) 1 1 1 1 1 az 1 bz 1 az 1 bz
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
1
1
1 bz1 H min ( z ) 1 az1
1.7.3 最小相位系统
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相 位系统具有最大的相位，最小的延时。
数字信号处理
(Digital Signal Processing) 第1章 离散信号与系统分析基础
第1章 离散信号与系统
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 离散时间信号 离散时间系统 离散信号的频域分析 离散系统的频域分析 双边z变换与反变换 离散系统的系统函数 全通滤波器与最小相位系统 时域抽样与频域抽样
对于离散LTI系统: y[k]=x [k]*h[k] Y(z)=H(z)X(z)
H(z)=Y(z)/X(z)=Z{h[k]} H(z)称为离散LTI系统的系统函数
当H(z) 的ROC包含单位圆时
H (e ) H ( z) z e
j
j
1.6.1 系统函数与系统稳定性
离散 LTI系统为因果系统的充要条件：
(3) |z|2 系统稳定、非因果
h[k ] 2
k 1
u[k 1] 3
k 1
u[k 1]
1.7.1 全通数字滤波器
全通滤波器的定义： 如果滤波器的幅频特性对所有频率均为常 数或者1，则系统为全通滤波器，即有
H (e ) 1
wk.baidu.com
j
0 2
H (e ) e
j
1.6 离散时间系统函数H(z)
对于离散LTI系统:
n 0
N
an y[k n] bn x[k n]
n 0 M
M
Y ( z) H ( z) X ( z)
n 0
n 0 N
bn z an z
n
n
H(z) 为离散LTI系统的系统函数。
1.6 离散时间系统函数H(z)
j ( )
0 2
1.7.1 全通数字滤波器
1.一阶全通数字滤波器
一阶因果稳定的全通滤波器的系统函数 定义为： 1
z d A1 ( z ) 1 dz 1
e j d 1 de j
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
1.7.1 全通数字滤波器 2. m阶实系数全通数字滤波器
d m d m 1 z 1 d1 z ( m 1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m 1 z dm z Dm ( z )
1
1.7.2 最小相位系统
任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为
H ( z ) H min ( z ) Am ( z )
证明：设系统H(z)只有一个零点在z = 1/a*在单位圆外， |a|<1，那么H(z)就能表示成
H(z)=H1(z) (z1 a*)
按定义H1(z)是一个最小相位系统。 H(z)也可等效的表示为
j p d r e 极点为： 1
零点为： z1 (1/ r ) e j 一阶全通系统的零点与极点 存在共轭倒数的关系
1 * p1 ( ) z1
1.7.1 全通数字滤波器
z d A1 ( z ) 1 dz 1
1
d 1 d re j
(c) 一阶全通数字滤波器的相位响应 j j j 1 r e e 1 d e j j j A1 ( e ) e e j 1 re j e j 1 de r sin( ) ( ) 2 arctan 1 r cos( ) d ( ) 1 r 2 0 d [1 r cos( )]2 r 2 sin 2 ( )