贝塞尔函数

贝塞尔函数

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它们与其他功能结合形成圆柱谐波功能。除基本功能外，贝塞尔功能是物理学和工程学中最常用的功能。它们以19世纪德国天文学家贝塞尔（F.W. Bessel）的名字命名，后者于1824年首次对其进行了描述。

贝塞尔函数是数学中一类特殊函数的总称。常规贝塞尔函数是以下常微分方程（通常称为“贝塞尔方程”）的标准解函数。

这种方程的解不能用基本函数来系统地表示。但是，可以将自动控制理论中的相平面法用于定性分析。

在这里，它被称为其对应的贝塞尔函数的顺序。在实际应用中，最常见的情况是整数，相应的解称为阶贝塞尔函数。

尽管在上面的微分方程中，符号本身不会改变方程的形式，但在实际应用中仍然习惯定义两个不同的Bessel函数（这可以带来好处，例如消除点处的函数不平滑性）。

定义

贝塞尔方程是二阶常微分方程，必须有两个线性独立的解。针对各种特定情况，提出了这些解决方案的不同形式。下面描述了不同类型的贝塞尔函数。

历史

瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）在18世纪中叶提出了几个正整数阶的Bessel函数，这在当时引起了数学界的轰动。

Jacobs Bernoulli，Leonhard Euler和Joseph Louis Lagrange为Bessel函数的研究做出了重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）在研究约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）提出的三体重力系统的运动问题时，首次提出了贝塞尔函数的理论框架。后人以他的名字命名这个功能。

现实背景和适用范围

贝塞尔方程是通过使用变量分离方法在圆柱坐标或球坐标中求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程而获得的。因此，贝塞尔函数在波动问题和涉及势场的各种问题中起着重要作用。

*电磁波在圆柱波导中的传播；

*圆柱体中的热传导定律|导热问题；

*圆形（或环形）膜的振动模式分析；

贝塞尔函数的一个示例：鼓鼓表面在中心被击中后，沿拉紧鼓表面的二阶振动模式的半径方向的振幅分布是贝塞尔函数（考虑正负号）。在现实生活中，滚筒表面的振动是类似振动形式的叠加。

第一种贝塞尔函数

第一种贝塞尔函数是整数或非负贝塞尔方程的解，必须满足有限时间。由于选择和处理“J”_{＆alpha;的原因；在本主题中，请参见Bessel函数的属性简介。另一个定义是通过在一点}

上的泰勒级数展开（或更一般地，通过幂级数展开，该展开适用于＆alpha;不是整数）

上式中为Γ函数（可以看作阶乘|阶乘函数对非整数因变量和自变量|自变量的推广）。第一种贝塞尔函数的形状与正弦或三角函数的形状大致相似。余弦函数以一定速率衰减（请参见本页下面其渐近形式的介绍），但其零不是周期性的。另外，随着“X”的增加，零之间的间隔将变得越来越接近周期性。图2显示了第一类0、1和2阶贝塞尔函数的曲线。

如果;不是整数，则与线性无关，可以形成微分方程组。如果是整数，则以上两个函数之间的关系如下：

=

因此，不再满足两个函数之间的线性独立条件。为了找到独立于线性的微分方程的另一种解决方案，我们需要定义第二种贝塞尔函数。

第二类贝塞尔函数（Neumann函数）

第二种贝塞尔函数可能比第一种更常用。这种函数通常表示为，它们

是贝塞尔方程的另一种解，也称为“纽曼函数”，