正射影和三垂线定理PPT优质课件

B
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练习:1、正方体ABCD-A’B’C’D’ (1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影; (2)BD’与AC的位置关系如何?
DD’ ’ A’
C’ B’
D
C
O
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A
B
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2.正方体ABCD-A’B’C’D’ D’
(1)求证:BD’⊥A’C’
A’
(2)求证:BD’⊥B’C
D
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三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：
(1)一个平面;
(2)四条直线: ①平面的斜线;
②平面的垂线;
③斜线在平面内的射影;
a
④平面内的一条直线.
(3)三个垂直:
①直线与平面垂直;
②平面内的一条直线与斜线在平面内的 射影垂直;
2020/③12/10平面内的一条直线与斜线垂直. 10
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
A
C’ B’
C B
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2.正方体ABCD-A’B’C’D’ D’
(1)求证:BD’⊥A’C’
A’
(2)求证:BD’⊥B’C
D
A
C’ B’
C B
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例2：正方形ABCD 的边长为12，PA⊥平面ABCD， PA=12，O为对角线BD的中点， 求：点P到对角线BD的距离
斜足 —— 斜线与平面交点 斜线段—— 斜线上一点与斜足之间线段
斜线
A
AO α
O
B
ι
射影
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P
a
O
A
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在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 :PO、PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影。a ，a⊥OA。 求证：a ⊥PA
求证:BC⊥PM.
P
2. PA⊥平面ABC，PB=PC, A M是BC的中点。 求证:AM⊥BC.
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C M B
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1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。 求证:BC⊥PM.
P
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,
M是BC的中点。
A
C
求证:AM⊥BC.
M
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影，则 a⊥b
（ ×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射
影则a⊥b
（×）
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⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直
于a在平面α内的射影，则 a⊥b (
)
P
a
AO
α
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课堂小结:
1、三垂线定理是研究空间线面位置关系的关键性定理， 承上启下，涉及与“垂直”有关的几乎所有领域。 2、三垂线定理主要应用于：解决垂直问题与空间图形度量
“在平面内”的条件
回 去掉，结论仍然成立 吗？
顾
思 考
直线a 一定要在平 面内，如果 a 不
在平面内，定理就
不一定成立。
α
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P
b
Oa
A
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练习：
判断下列命题是否正确： ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
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复习提问
1、直线和平面垂直的定义是什么？
如果一条直线和一个平面相交，并且和这 个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直 线和这个平面互相垂直。交点叫做垂足。
2、如何判定直线与平面垂直？ 如果一条直线和一个平面内的两条相交
直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
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P
a
O
A
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在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。
已知 :PO、PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影。a
，a
⊥OA
。
三垂线
求证： a ⊥PA
定理
证明：PO⊥
a
PO ⊥a a ⊥ OA
P
O
a A
POPOAA==PO
a⊥平面PAO
P
A
D
O
B
C
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P
解
题
A Oa α
回
顾 A1
C1 B1
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C B
AO a α
P P
C A
M
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B
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内
回 顾
的直线垂直的判定定 理，这两条直线可以 是：
P
思
考 ①相交直线
e dc
②异面直线
αA
Ob a
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注意：如果将定理中
（如角和距离）问题.
3、三垂线定理的基本模式导析
b
（1）、一面四线
c
l
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a
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感谢你的阅览
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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一、点在平面上的射影
自点P向平面α引垂线 l， 垂足P1叫做
点P在平面α内的正射影(简称射影)
P
l
α
P1
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二、图形在平面内的射影
如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的 图形 F ,则 F 叫做图形F在这个平面上的射影.
C B
A
C
B
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A
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斜线 —— 与平面相交且不垂直的直线
பைடு நூலகம்
a⊥PA
PAO 2020/12/10 PA平面
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线射垂直
P
定理 逆定理
线斜垂直
P
A Oa α
三垂线定理：
A Oa α
三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线和 平面内的一条直线和
平面的一条斜线在平面 平面的一条斜线垂直，则
内的射影垂直，则它就 它也和这条斜线的射影垂
和这条斜线 垂直 。
直。
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