第三章 第三节 三角函数的图象和性质1

3π 在π， 2 上递增．
答案： C 返回
4．比较大小，sin
π π － ________sin － . 18 10
解析：因为y＝sin 故sin
π π π x在－2，0上为增函数且－18>－10，
π π － >sin － . 18 10
)
A．[－1,1] 5 C．[－4，1]
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[自主解答]
令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝t
2
12 5 ＋t－1＝t＋2 －4，
5 t∈[－1,1]，∴y∈－4，1.
[答案] C
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若例2中函数变为“y＝2cos2x＋5sin x－4”试求值域．
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的定义域为________．
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[自主解答]
要使函数有意义，必须有
1 sin x>2， 2sin x－1>0， 即 1－2cos x≥0 cos x≤1. 2 5 π ＋2kπ<x<6π＋2kπ， 6 解得 π＋2kπ≤x≤5π＋2kπ 3 3
(k∈Z)，
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怎 么 考 1.三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考 考查的重点．
2.主要以选择题、填空题的形式考查，也常与三角恒等变
换相结合在解答题中考查.
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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图
象
π {x|x≠2＋kπ， k∈Z}
定义域
第 三 章 三 角 函 数、 解 三 角 形
第 三 节
三 角 函 数 的 图 象 和 性 质
抓 基 础 明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
[备考方向要明了]
考什么 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角 函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数 π π 在－2，2上的性质.
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2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下
方法 (1)利用sin x、cos x的值域； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步 分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值
域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数 在区间上的值域(最值)问题.
7π π －π，－ ，－ ，0. 12 12
π －2x的减区间为 3
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[冲关锦囊] 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，
ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解
答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整 体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)， y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
π 3．(2012· 桂林模拟)若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜2， 则f(x)的最大、最小值分别为 A. 2和1 C．2和 2 B．2和1 D．2和 3 ( )
返回
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝ 2sin π π π 3π ∵0≤x＜2，∴4≤x＋4＜ 4 . ∴1≤f(x)≤ 2.
)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 [自主解答] T＝π. [答案] C 返回 因为f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x是奇函数，
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
π π 6．(2012· 青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在4，2上为减
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2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义
域范围内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是
不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝ f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)， 都不能说T是函数f(x)的周期．
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[精析考题] [例1] (2012· 珠海模拟)函数y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x
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π π 3 解析：∵x－4≠kπ＋2，∴x≠kπ＋4π，k∈Z.
答案： D
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2．函数f(x)＝2cos
5π x＋ 是 2
(
)
A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D．最小正周期为π的偶函数
π x＋ ＝－2sin 2
函数的是 A．y＝sin C．y＝sin
π 2x＋ 2 π x＋ 2
( B．y＝cos D．y＝cos
π 2x＋ 2 π x＋ 2
)
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解析：对于选项A，注意到y＝sin π π 且在[4，2]上是减函数．
π 2x＋ ＝cos 2
R
R
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函数
y＝sinx {y|－1≤y≤1}
y＝cosx {y|－1≤y≤1}
y＝tanx R
值域
π (－ 2＋kπ， π π [(2k－1)π，2kπ] [－ ＋2kπ， ＋2kπ] 2 2 单调 上递增，k∈Z； π＋kπ) 2 上递增，k∈Z；
性
[2kπ，(2k＋1)π] π 3π [ ＋2kπ， ＋2kπ] 2 2 上递减，k∈Z 上递减，k∈Z
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函数
对称
y＝sinx
(k，0)，
y＝cosx
π (kπ＋2，0)， k∈Z
y＝tanx
kπ ( 2 ，0)， k∈Z
对
称 性
中心 对称 轴l：
k∈Z
π x＝kπ＋2， k∈Z
x＝kπ， k∈Z 2π π
无
周期性
2π
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1．函数y＝tan
π －x的定义域是 4
Байду номын сангаас
(
)
π A.x|x≠4，x∈R π B.x|x≠－4，x∈R π x|x≠kπ＋ ，k∈Z，x∈R C. 4 3π x|x≠kπ＋ ，k∈Z，x∈R D. 4
2π 2π (1)周期T＝ ω ＝ 2 ＝π. π π π π (2)令2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，得kπ－12≤x≤kπ 5π ＋12，k∈Z.
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所以x∈R时，y＝sin
π －2x的减区间为 3
π 5π kπ－ ，kπ＋ ，k∈Z. 12 12
从而x∈[－π，0]时，y＝sin
π π π 2π 解析：∵－6<x<6，∴0<2x＋3< 3 . ∴0<sin
π 2x＋ ≤1. 3 π 2x＋ 的值域为(0,2]． 3
∴y＝2sin
答案： (0,2]
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[冲关锦囊] 1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，
常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
答案：>
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5．(教材习题改编)y＝2－3cos 此时x＝________.
π x＋ 的最大值为________． 4
解析：当cos
π x＋ ＝－1时， 4 π x＋ 取得最大值5， 4
函数y＝2－3cos
π 3 此时x＋4＝π＋2kπ，从而x＝4π＋2kπ，k∈Z. 3 答案：5 4π＋2kπ，k∈Z
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[自主解答]
π 2x＋ ＝ 2
因为 y＝sin
π π 2x＋ ＋cos 2x＋ ＝ 4 4
2sin
2cos 2x，所以 y＝ 2cos
π 2x，在0，2单调递减，
kπ 对称轴为 2x＝kπ，即 x＝ 2 (k∈Z)．
[答案]
D
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π 5 答案：kπ－6，kπ＋6π(k∈Z)
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5．(2012· 华南师大附中模拟)已知函数y＝sin (1)函数的周期； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
π －2x，求： 3
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解：由y＝sin
π π －2x可化为y＝－sin 2x－ . 3 3
解：y＝2cos x＋5sin
2
x－4＝－2sin
52 9 x－4 ＋ . 8
∴当sin x＝1时，ymax＝1， 当sin x＝－1时，ymin＝－9， ∴y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]．
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012· 苏州模拟)函数y＝ sin x＋ 16－x2的定义域为________．
上递增，
k∈Z
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函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
π x＝ ＋2kπ 时 时， x＝2kπ 时 ，ymax 2 ymax＝1(k∈Z)； ＝1(k∈Z)；x＝ 最值 无最值 π x＝ － ＋2kπ 时 时， π＋2kπ 时ymin＝ 2 ymin＝－1(k∈Z) －1(k∈Z)
奇偶性
奇
偶
奇
sin x≥0 解析：由已知得 16－x2≥0 2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z ，∴ －4≤x≤4
.
如图：
∴所求定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
答案： [－4，－π]∪[0，π]
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2．(2012· 湛江模拟)函数y＝2sin ________．
π π π 2x＋ － <x< 的值域为 3 6 6
解析：因为f(x)＝2cos
x是奇函数，T＝2π.
答案： A
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3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是
π π A.－4，4 3π C.π， 2 π 3π B.4， 4 3π D. 2 ，2π
(
)
解析：作出函数y＝|sin x|的图象．观察可知，函数y＝|sin x|
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π 5π ∴3＋2kπ≤x< 6 ＋2kπ(k∈Z)．
π 5π 故所求函数的定义域为3＋2kπ， 6 ＋2kπ(k∈Z)．
[答案]
π 5π ＋2kπ， ＋2kπ(k∈Z) 6 3
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[例2]
(2010· 江西高考)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( 5 B．[－4，－1] 5 D．[－1，4]
π x＋ . 4
答案： A
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4．(2012· 宁德质检)函数y＝tan 为________．
解析：把函数y＝tan
π －x的单调递减区间 3
π π －x变为y＝－tan x－ . 3 3
π π π 由kπ－2<x－3<kπ＋2，k∈Z， π 5 得kπ－6<x<kπ＋6π，k∈Z.
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1．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝ Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单 调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应
在函数的定义域内考虑．注意区分下列两种形式的单
调增区间不同；
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(1)y＝sin (2)y＝sin
π 2x－ ； 4 π －2x. 4
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[精析考题] [例4] (2010· 湖北高考)函数f(x)＝ 3sin
x π － ，x∈R的最 2 4
小正周期为 π A.2 C．2π B．π D．4π
(
)
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[自主解答]
2π 依题意得函数f(x)的最小正周期是 1 ＝4π. 2
[答案] D
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[例5] (2010· 陕西高考)函数f(x)＝2sin xcos x是 (
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[精析考题] [例3] (2011· 新课标全国卷)设函数f(x)＝sin
π 2x＋ ＋cos 4 π 2x＋ ，则 4
(
)
π π 0， 单调递增，其图象关于直线x＝ 对称 A．y＝f(x)在 2 4 π π B．y＝f(x)在0，2单调递增，其图象关于直线x＝2对称 π π C．y＝f(x)在0，2单调递减，其图象关于直线x＝4对称 π π D．y＝f(x)在0，2单调递减，其图象关于直线x＝2对称