第八章位移法

§8-1 概述
二、位移法思路
B
B B
FC
B
B B
B
F
l
A
l/ 2 l/ 2
B
A
θB为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。
由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移θB。 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆
端弯矩为：
M BC
4EI l
B
Fl 8
M CB
2EI l
B
Fl 8
M
BA
4EI l
载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求 得)
2、哪些结点的位移作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温度 改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力结 果。
FP x
y
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
FP x 1. 先求杆端位移引起的弯矩
取简支梁基本结构
y
11 X1 12 X 2 1 A
21 X1 22 X 2 2 B
作出 M 1
11
22
l 3EI
、 M 2 、 R （略）
12
21
l 6EI
1
2
AB l
解出
X1
4EI l
A
2EI l
B
6EI l2
AB
X2
2EI l
A
4EI l
力法与位移法必须满足的条件：
1. 力的平衡; 2. 位移的协调;
3. 力与位移的物理关系。 位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形 和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比是 微小的（此即小变形假设），直杆两端之间的距离保持 不变。
注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为 了减少基本未知量，简化计算。
的杆端弯矩分别为 M和AFB ，杆M端BFA剪力分别为 和
FSAB
l
MBA FS AB
。
FF SAB
FF SBA
杆端弯矩的一般公式：
M AB
4iAB A
2iABB
6iAB
ΔAB l
M
F AB
M BA
2iAB A
4i AB B
6iAB
ΔAB l
M
F BA
（8-2）
——两端固定等截面直杆的转角位移方程。
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
1、两端固定的等截面直杆
MAB A A
A
F EI
B
B AB
记荷载单独作用引起
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或支 座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件受拉 纤维一侧。剪力的规定同前.
(2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端 在垂直于杆轴方向上的相对线位移ΔAB（侧移）以使 杆件顺时针转动为正,反之为负。
MF
q
M
A
A
θA
B
B
θB
AB
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
B
M
AB
2EI l
B
（8-1）
§8-1 概述
B
B B
l
F C 考虑结点B的平衡条件, 由∑MB=0，
有 M BA M BC 0 （8-2）
B
F
B
A
l/ 2 l/ 2
B
MBC
MBA
将（8-1）代入式（8-2）得
4EI l
B
4EI l
B
Fl 8
0
于是
B
Fl 2 64EI
将θB 回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可确定。 然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利用平衡 条件作出剪力图和轴力图。
第八章位移法
§8-1 概述
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
（3）超静定结构的内力分析和位移计算
力法。
已解得如下单跨 A
B
超静定梁的结果: A
B
§8-1 概述
P
力法计算太困难了！ 用力法计算，9 个基本未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
MAB
F
A A
Biblioteka BaiduEI
A B
FSAB
l
B AB
MBA FS AB
由两端固定等截面直 杆的转角位移方程可得 到其他支撑的转角位移 方程。
杆端剪力的一般为
FSAB
6iAB l
( A
B
2
ΔAB l
)
FSFAB
§8-1 概述
一、位移法的提出(Displacement Method)
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力 法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存 在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
B
6EI l2
AB
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
2. 荷载等外因引起的弯矩
荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可
用力法求解，表示
， 。 M
F AB
M
F BA
由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：
X
1
M AB
4i A
2iB
6i l
AB
M
F AB
X
2
M BA
4iB
2i A
6i l
AB
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间确 定的关系计算相应的内力。
§8-1 概述
位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而发 展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远比 结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。
F l/2
A
B
C
EI = 常数
l
D
l
l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
§8-1 概述
B
FC
F
C B
B B
l
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
§8-1 概述
§8-1 概述
位移法思路： 1、设定某些结点的位移为基本未知量，取
单个杆件作为计算的基本单元；
2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调；
3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此 可求出整个结构（所有杆件）内力。
§8-1 概述
提出问题： 1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷
M
F BA
其中： i EI
l
称杆件的线刚度。
转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移 法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:
A
B
两端固定梁
A
B
一端固定、一端铰支梁