小波变换基础以及haar小波共47页PPT资料

连续小波反变换：
f(t)1
C
R RWf(a,b)a,b(t)daa 2 db
其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.
C

|ˆ()|2 d R ||
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) A 1 ( t ) B f 2 ( t ) f W f ( a , b ) A f 1 ( a , b W ) B f 2 ( a , b W ) ⑵平移 g ( t ) f ( t t 0 ) W g ( a ,b ) W f( a ,b t 0 )
小波分析是时间和频率的 局域变换，采用多分辨率 分析的思想，非均匀地划 分时频空间.通过伸缩和平 移对信号进行多尺度细化， 可以在不同尺度上来观察 信号.
对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频 部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率. 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而 它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.
f(t) k 1 e 1 (t) k 2 e 2 (t) .. .k n .e n ( .t) .

如n果 ，那f么 (t) kiei(t)
i 1
小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效地从信号中提取信 息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
图像处理与识别
小波变换及应用
小波发展 Haar小波 小波去噪 展望
小波发展
小波分析（Wavelets Analysis）是20世纪80 年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析 方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有 广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、 图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域.
那么问题又来了？ 我们选择多大的窗口合适呢？
窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率 分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这
也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频
率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的 分量存在。
短时傅立叶变换(STFT)的核心就是加窗，然后滑动求得联合 时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时—频窗口就固定 不变，与频率无关. STFT是一种单一分辨率的分析，若要改 变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t) .我们不能同时获取信 号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时， 主频是高频，要求有较高的时间分辨率( 要小)，信号变化平 缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小). STFT 不能同时兼顾两者.
三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t) 可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif
小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t) 也可以用小波函数表示—小波变换.
小波变换
如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完 备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：
傅里叶变换
这幅图可形象的表示傅里 叶变换的不足之处。
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是 频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同 频率的四个成分。 做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅 值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上 无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一 样的，只是出现的先后顺序不同。
将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a， b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).
称φa,b(t)为连续小波. a,b(t)|a|12
(tb)
a
式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
a,b(t)|a|12
(tb)
aΒιβλιοθήκη Baidu
为什么系数有个 |a |-1 / 2 ？？？ 为了保证在不同尺度a时，a.b (t) 的 (t) 能量相同 。
φ(t)是母小波，φa,b(t)是由φ(t)作伸缩和平移得到的连续小波，对任意 信号f(t)∈L2(R)，有
连续小波变换：
W f(a ,b )f ,a ,b |1 a | f(t)(t a b )d, ta 0
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段 信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无 所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

短时傅里叶变换（STFT）
如果我们还想知道各个成分出现的时间 ？ 一个简单可行的方法就是——加窗。把整个时域过程
分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳， 再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频 率了。
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。
某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis） 理论最辉煌的继承、总结和重大突破.
小波与傅里叶的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的 函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分 析.
小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信 号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同 时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以 同时进行时频域分析.
CWT（连续小波变换）
设函数
(t)L 1(R ) L 2(R )，若其FT满足条件:
R|ˆ|()| |2 d
则称φ(t)为一个小波母函数.
φ(t) ∈L1(R)意味着小波函数具有衰减性. φ(t) ∈L2(R)意味着小波函数的能量有限.
φ(t) 满足 R(t)dt0 意味着小波函数具有波动性.