不等式恒成立问题的解题策略

函数不等式中的恒成立、能成立、恰成立问题

一、恒成立问题的常规处理方法 1、转换求函数的最值：

（1）若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上f(x)min >A ，⇔f(x)的下界大于A

（2）若不等式f(x)

例1．定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，且当)2

,

0(π

θ∈时，有f(cos 2θ+2m

sin θ)+f(-2m -2)>0恒成立，求实数m 的取值范围.

解析由f(cos 2θ+2m sin θ)+f(-2m -2)>0得到：f(cos 2θ+2m sin θ)>-f(-2m -2) 因为 f(x)为奇函数，故有f(cos 2θ+2m sin θ

又因为f(x)为R 减函数，

从而有cos 2θ+2m sin θ<2m +2对)2

,

0(π

θ∈设t =θsin ，则01222

>++-m mt t 对于t 在设函数()1222

++-=m mt t t g ,对称轴为①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ， 即21-

≥m ，又0

1

<≤-m (②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,

()012442<+-=∆m m m ,即122--m m ∴2121+

<<-m ,又[]1,0∈m , ∴③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m (如图3) 故由①②③可知：2

1-

≥m . 2、分离参数法：在同一个等式或不等式中，将主元与辅元分离（常用的运算技巧） 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:

（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

例 2：设()()(

)⎥⎦

⎤

⎢

⎣

⎡+-+++=n a

n n x f x x x 121lg Λ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数

且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子

()()

a n n x x

x

+-+++12

1Λ就必须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。

分析： 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有

()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++x

x x x

x

x n n n a a n n 11210121ΛΛ

令()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x

x x n n n x 1121Λϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式

成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。 解： 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：

()0121>+-+++a n n x

x

x

Λ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x

x x n n n a 1121Λ，由指

数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x

x x n n n x 1121Λϑ的最大

值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211Λϑ＝()n -12

1

故 a>

()n -12

1

3、数形结合：（凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可以考虑此法） （对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。 例3．已知恒成立有时当2

1

)(,)1,1(,)(,1,02<-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取值范围。

解：由x x

a x a x x f <-

<-=2

1

2

1

)(2

2

，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1

222

1)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等

于2和0.5，并作出函数x

x

y y )2

1(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-

2

1

2

在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在区间)1,1(-∈x 对应的图象在2

1

2-=x y 在区间

)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2,1≤>a a 只有时才能保证，而2

1

10≥

<

4、主参换位法

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决

例4．已知函数3

2

2

()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤. (Ⅰ) 求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-，恒有f(x)≥x 3-mx -11，求x 的取值范围.

解析： (Ⅰ) 2

()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+，,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤

23sin 4t ≤+≤，而(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤恒成立.则由二次函数性质得

(2)0(4)0

g g =⎧⎨

≤⎩ ，解得cos 1α=，1cos 2β=，sin 0α= ∴ 32

()924f x x x x =-+。 （Ⅱ）2

2

()11924110f x x mx mx x x ≥--⇔-++≥.令2

()92411h m mx x x =-++，则

2()11f x x mx ≥-- 即()0h m ≥.

由于[26,6]m ∈-，则有2

2

(26)26924110

(6)6924110

h x x x h x x x ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≥⎪⎩. 解得 113x -≤≤.所以x 的

取值范围为1

[,1]3

-

。 二、能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 例5．已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=

2

2

1，0≠a . 若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；

分析及解：x ax x x h b 22

1ln )(,22

--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-

=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解.