数列求和的十二种方法及递推数列求通项

十二类递推数列求通项公式

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1递推公式为a a f n n n +=+1

()

解法：把原递推公式转化为a a f n n n +-=1()，利用

累加法求解。

例

．

已

知

数

列

{}

a n 满足

a a a n n

n n 112121

==+++，，求a n 。

类型2递推公式为a f n a n n +=1

()

解法：把原递推公式转化为a a f n n n

+=1

()，利用累乘法求解。

例2．已知数列{}

a n 满足a a n

n a n n 11231

++，，求a n

类型3递推公式为a pa q n n +=+1（其中p ，q 均为常数，

()pq p -≠10）。

解法：把原递推公式转化为：()a t p a t n n +-=-1

其中t

-1，再利用换元法转化为等比数列求解。例3．已知数列{}a n 中，a a a n n 11123==++，，

求a n 。

类型4递推公式为a pa q n n n +=+1（其中p ，q 均为

常数，

()()pq p q --≠110）。

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以q

n +1

，得：

a q p q a q q n n n n

++=+111·引入辅助数列{}b n （其中

b a q n n n =）

，得：b p q b q

n n +=+11 再应用类型3的方法解决。例

．

已

知

数

列

{}

a n 中，

a a a n n n 111

5613

12==+?? ?

++，，求a n 。

类型5递推公式为a pa qa n n n ++=+2

1（其中p ，q 均

为常数），即二阶递推数列。

解法：先把原递推公式转化为

()a sa t a sa n n n n +++-=-211

其中s ，t 满足s t p

st q +==-???

，再应用前面类型的方法求解。

例

．

已

知

数

列

{}

a n 中，

a a a a a n n n 122112231

===

+++，，，求a n 。

类型6：递推公式为S n 与a n 的关系式。

解法：利用a S n S S n n n

n ==-≥???-1112，，()()进行求解。

例6．已知数列{}a n 前n 项和S a n n n =---41

2。

（1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n 。

例7．已知数列

{}a n 中，a 11=，

n 1123n a a 3a 5a (2n 1)a +=++++- ，求a n

1:,(,)n n a pa qn p q -=+类型7为常数

解法：使用待定系数法

设12[(1)]n n a Cn D a C n D -++=+-+ (,C D 是常数)

122n n a a Cn C D -=+-+

例8．已知数列{}a n 中，a 11=，123,n n a a n -=+求n a .

类型8：112130n n n n p a p a a p a +++

+=，（1p ，2p ，

3p 均为常数）

解法：两边同除以1n n a a +，构造数列1n a ??????

例9．各项均不为零的数列{}a n ，首项1a =1，且对于

任意

n N ∈*

均有

11620

n n n n a a a a ++--=（或

1123

n n p a a p a p +=+），求a n

例10．合肥市2013二模20T 各项均不为零的数列

{}a n ，首相11a =，且对于任意

n N

∈均有111620,n n n

n n n

a a a a

b a ++--==

（1）求数列

{}n b 的通项公式；

（2）此处不要求做。[若数列

{}n b 的前n 项和为n T ，证明：

当2n ≥时，011

118(1)(1)223

n n n n n n T n C C -+++>+++

11(1)22k n k n n

n n n k C C -++++-++ ]

类型9：指数型数列 1r n n a a +=

解法：两边取对数例11．已知数列

{}n a 满足)2(,1121

≥==-n a a a

n n ，

求

a 。

例12．

已知12

1,10,3,4,5)n n a a a n a -=== ，

求n a

类型10：奇偶项数列

解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列例13、（1）在数列{}a n 中，1

116n n a a n a +==-，，求a n （2）、在数列{}a n 中， 1113n n n a a a +==，，求a n

类型11：双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例14．已知数列

{}a n 中，a 11=；数列{}b n 中，

b 10

=。当

n ≥2

时，

()n n 1n 1

a 2a

b 3

--=

+，，()n n 1n 11

b a 2b 3

--=

+求a b n n ，。

类型12：2n n n Aa B

a Ca D

++=+的数列

对于数列2n n n Aa B a Ca D

++=+，*

1,(,,,a m n N A B C D =∈是

常数且0,0C AD BC ≠-≠）

其特征方程为Ax B

x Cx D

+=+，变形为

)0C x D A x

B +--=…②

若②有二异根,αβ

，则可令

11n n n n a a c a a αα

ββ

++--=?--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列n n a a αβ??-?

-??

是首项为11a a α

β--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a

若②有二重根αβ=，则可令

111

n n c a a αα

+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列1n a α??

??-??

是首项为

1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a

例15．已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求数列{}n a 的通项n a

例16．已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，

求数列{}n a 的通项n a

数列求和的八种方法

数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的求解

类型1：利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

等差数列求和公式：11()(1)

n n

n a a n n S na d +-=

等比数列求和公式：当q≠1时，S =

11(1)11n a a q

a q q q

--=--

当q=1时，S = na

常用求和公式：

= 1 + 2 +…+ n =

(1)

n n +，2221

12(1)(21)6

n S n n n n =+++=++

S =2

112(1)2n n n ??+++=+????

例1、已知log x =

2-1

log 3

，求x + x +…x 的值。

例2、设S =1+2+3+…+n，n∈N ，求1

()(32)n

n S f n n S +=

+的最

大值。

类型2：错位相减法求和

这种方法主要用于数列｛a ·b ｝的前n 项和，其中{a },{b }分别是等差数列和等比数列，且{b }的公比不为1。例3、求和：2311357(21)(0)n a a a n a a -+++++-≠

类型3：倒序相加法求和

倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n 个（1

n a a +）

例4、函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x)+f(1-x)=12. （1）f(

12)和f(1n

)+f(1n n -) (n ∈N)的值；

（2）数列{n a }满足：n

a = f(0)+f(1

)+f(

)…

+f(1n n

-)+f(1)，求 n a

类型4：分项求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊数列，然后分别求和，再将其合并。

例5、求数列{n （n+1）(2n+1)}的前n 项和S 。

类型5：裂项求和

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。

例6、

的前n 项和

类型6：并项求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求

和，然后再求n S 。

例7、在各项均为正数的等比数列{n a }中，若56a a =9,求3

132310log a log a log a +++ 的值。

类型7：利用数列的通项求和

利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法。

例8、求1+11+111+…+

n 1111

之和

类型8：与绝对值相关的求和

此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。例9、数列{

a }中, 1

a =8,

a =2且满足n 2n 1

a 2a a ++=-(n∈

N )

，

设

|n 12n S a a a =+++ ，求n S 。

答案：十二类递推数列求通项公式

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1递推公式为a a f n n n +=+1

()

解法：把原递推公式转化为a a f n n n +-=1()，利用

累加法求解。

例

已

知

数

列

{}

a n 满

足

a a a n n

n n 112

121

==+++，，求a n 。解

：

由

条

件

知

：

()a a n n n n n n n n +-=

+=+=-+1211111

分别令()n n =-1231，，，……，，代入上式

得

()n -1个等式累加之，即

()()()()

a a a a a a a a n n n n 213243111212131314111-+-+-++-=-?? ???+-?? ???+-?? ???++--?? ??

?-…………所以a a n n -=-111又因为a 112

所以a n n

n =+-=-1211321

类型2递推公式为a f n a n n +=1

()

解法：把原递推公式转化为a a f n n n

+=1

()，利用累乘法求解。例

已

知

数

列

{}

a n 满足

a a n

n a n n 11231

==++，，求a n 。

解：由条件知

a a n

n n n +=+11

，分别令

()n n =-1231，，，……，，代入上式得()n -1个

等式累乘之，即

3241231n n a a a a a a a a -???? 1231234n n -=????

…… 所以

a a n n 11=，又因为a 123

=，所以a n n =23。类型3递推公式为a pa q n n +=+1（其中p ，q 均为常

数，

()pq p -≠10）。

解法：把原递推公式转化为：()a t p a t n n +-=-1

其中t

-1，再利用换元法转化为等比数列求解。例3.已知数列

{}a n 中，a

a a n n 1

1123==++，，求a n 。

解：设递推公式a a n n +=+123

可以转化为()a t a t n n +-=-12

即a a t n n +=-1

2，所以t =-3

故递推公式为()a a n n ++=+1323

令b a n

n =+3，则

b a 1134=+=，且

b b a a n n n n ++=++=113

2 所以{}b n 是以b 14=为首项，2为公比的等比数列，

则b n

n n =?=-+42211，所以a n n =-+231

类型4递推公式为a pa q n n n +=+1（其中p ，q 均为

常数，

()()pq p q --≠110）。

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以q

n +1

，得：

a q p

q a q q

n n n n ++=+111· 引入辅助数列

{}b n （其中b

a q n

），得： b p q b q

n n +=

+11 再应用类型3的方法解决。

例4.已知数列{}a n 中，a a a n n n 111

5613

12==+?? ?

++，，求a n 。

解：在a a n n n ++=+?? ?

??11

1312两边乘以21n +得：

()

2111n n n n a a ++=+··

令b a n

n n =2·，则b b n n +=

+12

1 应用例3解法得：b n n

=-?? ?

?3223

所以a b n n n

n n

==?? ???-?? ?

??2312213

类型5递推公式为a pa qa n n n ++=+21（其中p ，q 均

为常数）。

解法一：（待定系数法）先把原递推公式转化为

()a sa t a sa n n n n +++-=-211

其中s ，t 满足s t p st q +==-???

，再应用前面类型的方法求解。

例

已

知

数

列

{}

a n 中，

a a a a a n n n 122112231

3===

+++，，，求a n 。解法一：由

a a a n n n ++=+2

1231

可转化为()a sa t a sa n n n n +++-=-211

即()a s t a sta n n n ++=+-2

所以s t st +==-?????

??23

13，解得：s t ==-?????113或s t =-=??

???131 这里不妨选用s t ==-?????113（当然也可选用s t =-

???131

，大家可以试一试），则

()a a a a n n n n +++-=-

-2111

所以

{}a a n n +-1是以首项为a a 211-=，公比为

的等比数列所以a a n n n +--=-?? ?

应用类

型

的

方

法

，

令

n n =-1231，，，……，()，代入上式得()n -1个

等式累加之，即

a a n n -=-?? ???+-?? ???++-?? ?

-10

131313……=

--?? ?

??+-113113

n ，又因为a 11=，所以a n n =--?? ?

-7434131

。

注：对于11n n n a pa qa +-=+（p 、q 均为常数），若p+q=1

时，则1111(1)()n n n n n n n a q a qa a a q a a +-+-=-+?-=-- 直接构造一个等比数列解决问题

解法二：特征根法令22

n a x +=，1n a x +=，1n a =得到特征方程，若特

征方程有两同根

x x 、，即

x x =，则通解

121()n n a c c n x =+，若特征方程有两异根12x x 、，即

12x x ≠，则通解1122+c n n n a c x x =

因为特征方程为22

21,321033

x x x x =+--=即，

即（3x+1）(x-1)=0,121

,13x x =-=,所以

121()+c 13n n n a c ?=-，11

112222121()113

1()12

3a c c a c c ???=-+=???

?=-+=??

解得12c c 、分别为97

44、，所以a n n =--?? ??

-7434131

类型6递推公式为S n 与a n 的关系式。解法：利用a S n S S n n n

n ==-≥???-1112，，()

()进行求解。

例6.已知数列

{}a n 前n 项和S a n n n =--

-4122

。

（1）求a n +1与a n 的关系；（2）求通项公式a n 。解：（1）由S a n

n n =--

-412

得：

S a n n n ++-=--

111

412

于是()S S a a n n n n n n ++---=-+-?? ??

?11211

212

所以a a a n n n n ++-=-+1

1112，即a a n n n +=+1121

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以21n +得：

22211n n n n a a ++=+

由a S a 11112

412

==--

-，得：a 1

于是数列

{}2n

a 是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以()2

2212n

n a n n =+-=，故a n n n =

-21

11111*

2[(1)],2236

3,20,6,

3(1)6

36,10102525236,n n n n n n n n n n n n n n a Cn D a C n D C D a a Cn C D a n C C D D a n b a n b b b a n n N ----++=+-+=+-+++=-+===+-+=++==?=?=?--∈使用待定系数法是常数

所以令且易知显然是等比数列,例7. 已知数列

{}a n 中，a 11=，

n 1123n a a 3a 5a (2n 1)a +=++++- ，求a n

类型7：1,-=+n n a pa qn （p ，q 均为常数）

解法：

1[(1)],n n a Cn D p a C n D C D -++=+-+使用待定系数法

是常数

例8. 已知数列{}a n 中，a 11=，123,n n a a n -=+求n a .

类型8：112130n n n n p a p a a p a +++

+= ，（1p ，2p ，

3p 均为常数）

解法：两边同除以1n n a a +

，构造数列1n a ??

????

例9.各项均不为零的数列{}a n ，首项1a =1，且对于任

意

n N ∈*

均有

11620

n n n n a a a a ++--= （或

1123n n n p a a p a p +=+），求a n 4()31

n n a =+ 例10合肥市2010二模20T 各项均不为零的数列

{}a n ，首相11a =，且对于任意

n N

∈均有111

620,n n n

n n n

a a a a

b a ++--==

（1）求数列

{}n b 的通项公式；

（2）此处不要求做。[若数列

{}n b 的前n 项和为n T ，证明：

当2n ≥时，011

118(1)(1)223

n n n n n n T n C C -+++>+++

11(1)22k n k n n

n n n k C C -++++-++ ]

解：（1）由11620n n n n a a a a ++--= 得

11312

n n a a +=-，

则111113(),44

n n a a +-=-11

13()44n n b b +-=-

所以

4n b -

是以3为公比，34为首项的等比数列

113331

3,4444

n n n n b b -+-=?==

4分（2）当2n ≥时，

188323(1)(1)(1)3338

n n n n n T n n ++-+=+>+ 令1

()(1)n f x x +=+

则1

2110()(1)

n n n i

n i f x x C x +++-+==+=∑

()(1)(1)(1)n

i n i

n i f x n x n i C x

-+==++=+-∑ 0

110

11(2)(1)3(1)222n

n n n n n f n n C

nC C -+++=+=++++?

所以011

118(1)(1)223

n n n n n n T n C C -+++>+++

11(1)22k n k n n

n n n k C C -++++-++ ]

……13分

类型9：指数型数列 1r n n a a +=

解法：两边取对数

例11已知数列{}n a 满足)2(,1121≥==-n a a a n n ，求n a 。

例12

．已知1

211,10,

3,4,5)n n a a a n a -==== 递

推

式

两

边

同

取

对

数

，

得

1111221122

*(1)3,1

33(1) (32)

3(23....)

334

13(1),22

n n n n n n n n p a a n a a a n

a a n a a a a n n n n n a n N ----==+=-=??-=-?????-=??-=+++++-=+-=∈ 类型7变式的情况:使用累加法

上述各式累加得到,

)lg (lg 21

lg lg 211----=

-n n n n a a a a

令

n n a a b lg lg 1-=+，则

??===-=--),5,4,3(211

lg lg 21121 n b b a a b n n )

3,2,1()21

(1 ==?-n b n n

1)2

(11110

)21

(lg lg -=?=-?+-+n n

n n n n a a a a ，

已转化为“

)

(1n f a a n n ?=+型”，由累乘相消法可得

???

??????? ??-???

??????? ??----=?=???=11221122112)21

1211

1010101010n n n n n

a a a 类型10：奇偶项数列

解法：作差或作商得，相间项成等差或成等比数列例13、1、在数列{}a n 中，1

116n n a a n a +==-，，求a n

2、在数列{}a n 中， 1113n n n a a a +==，，求a n 解：1、()161n n

a a n ++=

()216(1)2n n a a n +++=+

（2）-（1）得：2

6n n a a +-=

当21n k =-时，21

1(1)65k a a k d k -=+-=-，

即32n

a n =-

当2n k =时，22(1)61k

a a k d k =+-=-，

即31n

a n =-

3231n n n a n n -?∴=?-?（是奇）(

是偶)

2、1

12133

n n n n n n a a a a ++++=

，23,n n a a +∴= 121,3a a ==

当21n k =-时，1121

13k k k a a q ---==，

即12

n n

当2n k =时，1122333k k k k

a a q --?===，

即2

a =

2233n n n

n a n -??∴=???

（是奇）(是偶)

类型11双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例14.已知数列

{}a n 中，a 11=；数列{}b n 中，

b 10=。当n ≥2时，

()()a a b b a b n n n n n n =

+=+----1321

21111，，求a b n n ，。

解：因()()a b a b a b n n n n n n +=

+++----1321

21111 =+--a b n n 11

所以a b a b n

n n n +=+--11

2222111n n a b a b a b --=+==+=+=……

即a b n

n +=<>11，又因为a b n n -

()()()111111111

22333

n n n n n n a b a b a b ------=

+-+=- 所以()a b a b n n n n -=---1

311

()()2

2211111333n n n n a b a b ----??????

=-==-= ? ? ?

????

……即

a b n n n -=?? ?

<>-1321

由<1>、<2>得：

a b n n n n =+?? ?

????????=-?? ?????????

??--12113121131

，

类型12：2n n n Aa B

a Ca D

++=

+的数列

对于数列2n n n Aa B a Ca D

++=+，*

1,(,,,a m n N A B C D =∈是

常数且0,0C AD BC ≠-≠）

其特征方程为Ax B

x Cx D

+，变形为

)0C x D A x

B +--=…②

若②有二异根,αβ

，则可令

11n n n n a a c a a αα

ββ

++--=?--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列n n a a αβ??-?

-??

是首项为11a a α

β--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a

若②有二重根αβ=，则可令

111

n n c

a a αα

+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值。

这样数列1n a α?

?-??

是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a

例15.已知数列{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==≥+，

求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

x x x +=+，化简得2220x -=，

解得1

21,1x x ==-，令

1111

n n n n a a c a a ++--=?++

由1

2,a =得245a =

，可得13c =-， ∴数列11n n a a ??-??+??

是以111113a a -=+为首项，

以1

3-为公比的等比数列，1

111133n n n a a --??∴=?- ?+??

，3(1)3(1)n n

n n n a --∴=+-

例16.已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为21

x x x -=

+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令111

1122

n n c

a a +=+++

由12,a =得23

a =，求得1c =，

∴数列12n a ????????+??

是以11252a =

+为首项，以1为公差的等

差数列，

123

(1)1552

n n n a ∴

+-?=-

，135106

n n a n -∴=

列求和的八种方法

数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中

都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

类型1：利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

等

差

数

列

求

和

公

式

：

11()(1)

n n n a a n n S na d +-=

等比数列求和公式：当q≠1时，S =11(1)11n a a q

a q q q --=--

当q=1时，S = na 常用求和公式：S = =1 + 2 +…+ n = (1)

n n +

S =1 + 2 +…+n = n(n+1)(2n+1)

S =1 +2 +…+n =[n(n+1)]

例1、已知log x =

2-1

log 3

，求x + 2x +…+n x 的值。解：由log x =

2-1

log 3

log x= -log 2

，由等比数列式求和公式得：S = x + x +…+ x =

(1)

(1)22112

n x x x --=

-- =1- 12n 例2、设

S =1+2+3+…+n，n∈N ，求1

()(32)n

n S f n n S +=

+的

最大值。

解：由等差数列求和公式得

n(n+1)，

=(n+1)(n+2),

∴

()(32)n

n S f n n S +=

23464

n n ++

5032n n ≤=

当且仅当n =

，即n=8时，()f n 取最大值

150

。

类型2：错位相减法求和

这种方法主要用于数列｛

a ·b｝的前n项和，其中{a

},{b}

分别是等差数列和等比数列，且{b}的公比不为1。

例3、求和：1+3a+5a +7a+…+(2n -1)a(a≠0)

解：数列{(2n-

1)·a}是由等差数列{2n-1}和等比数

列{a}的相应项乘积组成。

当a=1时，S=1+3+5+…+（2n-1）=[]

1(21)

n n

当a≠1时，S =1+3a+5a+…+（2n-1）a……①，两边分别乘以公比a得：

aS =a+3a +5a+…+（2n-3）a +(2n-1)a…………②①-②得：（1-a）S

=1+2a+2a +2a +…+2a -(2n-1)a

=1-(2n-1)a

+，

于是S=

1(2)2(1) 11(1)

n n

n n a a a

a a a

---

类型3：倒序相加法求和

倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（a +a）

例4、函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=1 2

f(1

)和f(

)+f(

) (n∈N)的值；

数列

{a}满足：

a= f(0)+f(

)+f(

)…

+f(

)+f(1)，求a

例4、求证C +3C +5C+…+（2n+1）C =(n+1)2

证明：设S =C +3C +5C+…+（2n+1）C……①

将①右边倒转过来得：

S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C +C……②

由C =C得

S=（2n+1）C+（2n-1）C +…+3C +C……③

①+③得：2S =(2n+2)(C +C +…+C +C )=(2n+1)2

∴S =(n+1)2

类型4：分项求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将

这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列或特殊

数列，然后分别求和，再将其合并。

例5、求数列{n（n+1）(2n+1)}的前几项和。

解：设a = n(n+1)(2n+1)= 2n +3n+n

∴S=1·(1+1)·(2+1)+2(2+1)·(4+1)+…+n(n+1)(2n+1)

=2×1+3×1+1+2×2+3×2+2+…+2n +3n+n

将其每一项拆开再重新组合得

S=2（1+2+…+n）+3（1+2+…+n）+（1+2+…+n）

2(1)(1)(21)(1)

222

n n n n n n n

++++

(1)(2)

n n n

类型5：裂项求和

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重

新组合，使之消去一些项，最终达到求和的目的。

例6

的

前n项和

解：设

= =，则

）

常见裂项式如下：

111

(1)1

n n n n

==-

，

1111

(1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n

==-

+++++

类型6：并项求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种

特殊的性质。因此，在求和时，可将这些项先合并在一起求和，然后再求S 。

例7、在各项均为正数的等比数列{a }中，若a a =9,求log a +log

a +…+log

a 的值。

解：设S =log

a +log a +…+log a 由等比数列的性质m+n =p+q a a =a a 和对数运算性

质log M+log N=log (MN)，得

S =(log

a +log

a )+(log

a +log

)+…+( log

a +log a )=log (a a ) + log (a a )+…+log （a a ）

=log 9+log 9+…+log 9=10 类型7：利用数列的通项求和

利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法。

例8、求1+11+111+…+111…1之和 n 个1 解：

=111…1=

19×99…9 = 1

（10n -1） n 个1 n 个9

∴1+11+111+…+111…1 n 个1

19（101 -1）+ 19（102 -1）+…+ 1

9（10n -1） = 19（101+102+…+10n ）- 1

（1+1+…+1） n 个1 =

19(101n +-10-9n)

类型8：与绝对值相关的求和例9、数列

{a }中

=8,a

且满足

=2a

-a (n∈N )

设S =|a |+|a |+…+|a |，求S 。解：由a =2a

-a

-a ，可知{a }

为等差数列，d=41

a a -- = -2

∴a =10-2n

由a =10-2n≥0可得n≤5时，S = -n +9n ，当n ＞5时，

S = n -9n+40

229(15)940(5)n n n n S n n n ?-+≤≤∴=?--+>?

此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的解

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+，求数列{}n a 的通项公式。类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ）解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。类型七：（公式法2）（n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解：类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解：变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+，求数列{}n a 的通项公式。类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列 {} n a 满足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通项公式。类型七：（公式法2）（n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ，又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________；（2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式

数列求通项与求和总结(精)

数列求和方法等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L ．解：原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ．由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =．二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和．分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L ．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ，．小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L ，求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和．分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和. 解：222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ，

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。（2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。（2）已知101n n S =-，求n a 。类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ；（2）已知3 32 n n S a =-，求n a ；（3）已知22n n S a +=，求n a 。类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ；（2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ；（3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ；（2）11a =，12n n S a +=，求n a ；（3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。（2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。（3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?，求n a 的通项公式。（2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。（3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。五、构造法例1、（1）14a = 2=，求n a ；（2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ；（3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ；（4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ；（5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ；（6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .

数列通项和求和

第三讲（数列三）本讲主要内容：数列通项和前n 项和第一部分：旧知识复习 ①（（ 2.右的第三个数位________________ 【知识笔记】： ② 叠加法3.已知数列{}n a 满足* 132() n n a a n n N +=++∈，且12a =，求n a _____ 【知识笔记】：４.已知数列{}n a 中，*112,2()n n n a a a n N +==+∈，求n a ______________

5.在数列{}n a 中，121,2,a a ==且11(1)(2,0)n n n a q a qa n q +-=+-≥≠ （1）设 * 1()n n n b a a n N +=-∈，证明：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式。【知识笔记】： ③ ____ 7. ④*)N ， 9. ⑤ 倒数法 10.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +== +，求n a _________ 【知识笔记】： 11.已知数列{}n a 中，1111,21 n n n S a S S --== +，求通项公式______________

⑥ 构造辅助数列 12.已知数列{}n a 满足1111,12 n n a a a +==+ ，求其通项公式【知识笔记】： 13.在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈，求n a ______________ 14. (①的n S ② 2x 图 ③ 令（n n n 【知识笔记】： ④ 倒序相加法 18.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求 1 2 1231 ...n n n n n n n S C a C a C a C a +=++++ 【知识笔记】：

数列求通项公式及求和9种方法

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数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法例：已知数列13 12--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1k n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++=1，可裂项成)(1n k n k a n -+=，列出前n 项求和消去一些项例：已知数列1)2() 1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S 4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有： 1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法

7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析 1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：???≥-===-) 2()1(111n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =- 所有等式两边分别相加得：∑-== -111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a n n =+ ...... 累加

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……

.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 S 6 = —i -2 -4 -8 -i6 —32 = —63 . 因为 S n =2a n +i ，所以当 n =i 时，a i =2a i +i ，解得 q =-i , 当 n > 2 时，a n =S n -S n_i =2a n +i —2a n4—i ，所以 a n =2a n_i , 所以数列｛a n ｝是以-1为首项，2为公比的等比数列，所以 a n =-22 所以"卄一 63 . 1. 【解析】??? a n+ = 1 -3a n ，- O n ｝是等比数列 2. 3. 4 又 a ?=—— 3 f f 1门 4|1——- ?- a 1 =4，-? S 10 = - ---- 1 --- =3（1 -3」0 ），故选 C . 1+- D 【解析】由数列通项可知，当 i 剟n 25, n 亡时，a .…0，当26剟n 50, n 忘 N+ 时，a n , 正数；当51剟n 数是100. -63【解析】通解 =2时, a i =3时, a i 0 ,因为 a i + a 26 A 0 , a 2 + a 27 a 0 “? S ], S 2,…，S 50 都是 i00, n w N +同理S 5i ,S 52,…,S i00也都是正数，所以正数的个因为 S n =2a n +i ，所以当 n =i 时，a i =2a i +i ，解得 a i = —i ； = 2a2 +1，解得 a^ = —2 ； + a s =2a 3 +i ，解得 a^ -4 ； =4时, a i +a 2 + a 3 + a 4 =2a 4 +i ，解得 a^ -8 ； =5时, a i + a 2 + a 3 +a 4 + a^2a 5 +i ，解得 a^ T6 ； =6时, a i 中a 2 “3 乜4 乜5 “6 =2a 6 +i ，解得 a s = -32. 所以优解

求递推数列通项公式和求和的常用方法

求递推数列通项公式和求和的常用方法求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？【解析】： 1n n S a =-，∴111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a += ，又11 2 a =， ∴12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系() 1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列. 二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=???? 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式. 三累加法：利用121 1()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例三已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n n a ?? = ??? ，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 【解析】：11b =,112n n n b b +?? -= ??? (1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 2 1112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1 121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1 211231+= +? =n n a a n