阿基米德三角形在高考中的应用

|F A| |PF | A1
|PF | |F B|
B1 P
|PF|2 |FA||FB|
探究：如 图 ， F为 抛 物 线 C：x2 2 py 焦 点 ，
P为 抛 物 线 外 任 意 一 点,过 P作 抛 物 线 C的 两
条 切 线 PA、 PB， 且与 抛 物 线 C分 别 相 切 于
A、 B两 点 .那 么 ∠FPA = ∠ PFB会 成 立 吗 ？
M。 则 直 线 PM与 x轴的 位 置 关 系 ( B )
A.相交 y
C.垂直
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
性质2：若直线l与抛物线没有
公共点，以l上的点为顶点的
阿基米德三角形ABP的底边AB
过定点。
y
C
B
A
F
x
O
P
例 1： (08.山 东如) 图 ， 抛 物 线 x2 2py
(p 0),M为直 线l: y 2p上任 意一点 ，
过M引抛 物线的 两条切线，切点 分别为
A、B两点 .求 证：A,M,B三点 的横坐 标
成等差数列.
思考：把M改 A 成抛物线外任 意一点，结论 仍然成立吗？
yN
O
-2p
M
B
x
性质3：如图, ABP是阿基米德
三角形，N为抛物线弦AB中点，
则直线PN平行于抛物线的对称
轴.
y N
F
x2 2 py
B
A
O
x
P
练 习 1.动 点 P是 圆x( 4)2 y2 9上 任 意 一 点 ， 过 点 P作 抛物 线 y2 4x的 两 条 切 线 ， 切 点 为 AB,,弦 AB的 中 点 为
y
F
B
A
O
x
P
Bn(sn,tn ).
An(xn, yn )
性质5：如图：在阿基米德三
角形ABP，若F为抛物线焦点，
则 PFA PFB
A(
x1
,
x12 2p
)
A
y
p F (0, 2 )
B O
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
高考链接：( 0 5 . 江 西 ） 如 图 ，抛 物 线 C ：
x2 4y上
(1)试证：
xnsn 4（n 1）;
An(xn, yn )
Bn(sn,tn ).
证明：（Ⅰ）对任意固定的 n 1,
因为焦点F（0,1）,所以可设直线 AnBn
的方程为 y 1 knx,
由
y knx x2 4y
1 ,
得 x2 4knx 4 0
由一元二次方程根与系数的关系得
xnsn 4(n 1)
(1)试证：xnsn 4（n 1）;
(2)取xn 2n,并记Cn为抛物线上分别 以A n B n为切点的两条切线的交点。试证： |F C1||F C2| |F Cn | 2n 2n1 1
x2 4y上
性质4：在阿基米
德三角形ABP，
F(0,1)
则| FCn |2 | FAn | | FBn |
x02
(x02
1)2 4
x1
x1
(x0
x1
1 )( 4
x12
1 4
)
| FP|
x0
x1
1 4
,
| FP || FB |
| FP |
x12
( x1 2
1)2 4
| FP |
∴∠AFP=∠PFB.
推论：在阿基米德三角形ABP， 若弦AB过抛物线焦点F，则
PF AB
y
F
B
A
O
x
P
练习 3：(06.全国)已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
的 轨 迹 是 否 为 一 条 定 直线 ？图2
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C， 则另一顶点P的轨迹为一条直线。
y C B
A
F
x
O
P
探究3：若抛物线x2 2 py上的阿
基米德三角形的顶点P在定直线
y x 1(与x2 2py无公共点),
则弦AB是否过定点？
y
3. 方法：求导法；主元法； 设而不求法。
分析：AA1 AF
A1AP FAP
AA1P FAP A
AA1P AFP
PA1 PF
A1
同理可得：
x2 2 py
y
F
B
x O
P
B1
BB1P BFP, PF PB1 PA1 PB1,即PA1B1 PB1A1
根据刚才的证明，可得
ΔPF A与ΔBF P相似
A(
x1
,
x12 2p
)
(0, p ) y 2F
A
x2 2 py
B
B(x2 ,
x22 2p
)(
x1
x2 )
B
O
x
P ( x1 x2 , x1x2 ) 2 2p
例 2： ( 06.重 庆 .22)
如图.对每个正整数,nAn(xn, yn )是抛物
线x2 4y上的点，过焦点的F 直线FAn
交抛物线与另一点Bn(sn, tn ).
y x2 的焦点为F，动点P在直线l:
x - y - 2 0上运动，过P作抛物线C
的两条切线PA、PB，且与抛物线C
分别相切于A、B两点.
y
证明:∠PFA = ∠PFBA.
F
B
O
x
P
分析： 设切点 A(x, x02 ), B(x1, x12 )(( x1 x0 )
则P( FA (
x0 x0 ,
1 4
x0
0,
所以P点到直线AF的距离为：
d1
|(x20
1)( 4
x
0
2
x1
)
x
02x1
( x20
1 )2 4
x
2 0
1 4
x
0
|
ห้องสมุดไป่ตู้
|
x
0
2
x1
x
2 0
)(x02
1 4
1 4
)
|x
0
2
x1|
同理可得到P点到直线BF的距离
d2
|
x1
2
x0
|
因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
分析：AA1 AF
1 4
x,
即
( x12
1)x 4
x1 y
1 4
x1
0.
所以P点到直线BF的距离为：
d2
|
( x12
1) 4
x1 2
x1 4
|
( x12
1)2 4
(x1 )2
( x12
1) 4
|
x1 2
|
x12
1 4
| x1 | 2
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②y当 14x1x0xx0200014时(x， 0直),即线(AxF02 的 14方)x程 x：0 y
为 x0x p( y0 y)．
y
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
由的两抛条物切线线的所弦围与阿三成过基角的弦米形三的德角端形点.
阿基米德是 A 伟大数学家与力 学家,并享有“数 学之神”的称号。
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
高考题中的阿基米德三角形
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y0)，分别作抛物线的切线PA、PB，A、B 分别是切点，则直线AB的方程
2 x0
x1 , x0 2 1),
4
x1). FP
(
∴
x0 x1 2
,
x0
x1
1),FB 4
( x1 ,
x12
1). 4
∴c osAFP
FP FA
x0
2
x1
x0
(x0 x1
1 4
)(x0
2
1) 4
x0 x1
1 4
| FP|| FA|
同理可得：
cosBFP FP FB
x0
2
| FP|
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
AF
点(a0,b,c)),则 阿 基 米 德 三 角 形 的 顶 点 P(x0, y0 )
O
x
P (x 0,y0)
|FA| |PF|
|PF| |FB| A
|PF|2 |FA||FB|
x2 2 py
y
F
B
x O
P
方法2:①当x1x0 0时,由于x1 x0 ,不妨设x0 0,则y0 0,
所以P点坐标为 ( x1 ,0)，则P点到直线AF
的距离为：d1
|
x1 2
2 | ;而直线BF的方程:
y
1 4
x12 x1
且 AF ＝λ FB（λ＞0）．过 A、B 两点分 别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．则
FM AB的值为（ B）
A.大于 0
B. 等于 0
C.小于 0
D. 无法判断
推论：在阿基米德三角形ABP，若弦AB
过抛物线焦点F，则 PF AB
课堂小结：
C
B
1.一个阿基米 A
F
德三角形
O
2.关键点：阿基米德三 角形三个顶点坐标之间 Q 的关系。
A1AP FAP
AA1P FAP A
AA1P AFP
PA1 PF
A1
x2 2 py
y
F
B
x O
P
B1
同理可得：PF PB1
PA1 PB1,即PA1B1 PB1A1
分析：
F, M,P,N四点共圆
x2 2 py
FPN FMN
y
FPA B1BP
F
B
FPA FBPA
x
ΔPFA与ΔBFP相似 N O M