旋转曲面的面积

f (x)x (x)那么只要把定积分
b
f (x)dx
计算出来，就是
a
该问题所求的结果。上述方法通常称为微元法
旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C 的方程为
y f (x)， x [a，b（] 不妨设f (x) 0）
这段曲线绕 x轴 旋转一周得到旋转曲面
y
S
y f (x)
通过x轴上点x与x x分别作垂直于x轴的 平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当
且y(t) 0，那么 由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转曲面的面积为
S 2
y(t)
x2 (t) y2 (t)dt
例1 计算圆x2 y 2 R2在[x1，x2 ] [R, R]上的弧段绕 x轴旋转所得球带的面积 。
解 对曲线y R2 x2在区间[x1，x2]上应用公式，得到
S 2 x2 x1
12a2
2
sin
4
t
cos
tdt
12
a
0
5
y
O
a
x
图 13
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
2R
x2 dx
x1
源自文库
2R(x2
x1 )
特别当 x1 R，x2 R 时，则得球的表面积 S球 4R2
例2 计算由内摆线 x a cos3 t， y a sin 3 t 绕 x 轴旋转所得
旋转曲面的面积。
解 由曲线关于 y 轴的对称性及公式得
S 4 2 a sin3 t (3a cos3 t sin t)2 (3a sin 2 t cost)2 dt 0
O a x x x x
x很小时 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
图 12
即 S [ f (x) f (x x)] x2 y2 [2 f (x) y] 1 ( y )2 x
x
其中y f (x x) f (x)
S 2
b
f (x)
1 f 2 (x)dx.
a
如果光滑曲线 C 由参数方程 x x(t)， y y(t)， t [， ] 给出，
§4 旋转曲面的面积
微元 法
若令(x)
x
a
f
(t)dt，则当f为连续函数时，(x)
f
(x)
，或
d(x) f (x)dx，且
(a) 0， (b)
b
f (x)dx
a
在任意小区间[x，x x] [a，b]上，若能把 的微小增量 近似表示为 x
的线性形式 f (x)x 其中 f 为某一连续函数，而且当 x 0时