向量组的线性表示

(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 A
矩阵A
a1 a11 a21
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
解析几何
向量 (n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量组的等价具有下述性质：
(1) 反身性 （2）对称性 （3）传递性
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容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足
1) 交换律 ; 2) 结合律 ( ) ( ); 3) 对任一向量 , 有 0 ; 4) 对任一向量 , 有 ( ) 0;
(2) 向量的数乘运算满足
1) 1 =; 2) k(l ) l(k ) (kl);
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT (a1 ,a2 ,,an )
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbycz d
b11
（c1
,
c2
,,
cn
)
（1
,
2
,,
s
)
b21
b12
b22
b1n b2n
bs1 bs2 bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
T 1
T 2
ams
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向
量组A
:
1
,
2
,,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2，, km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
则称向量组A与向量组B等价.
若记A （1 , 2 ,, m )和B （ b1 ,b2 ,,bs ).B
能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存 在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
T 1
的向量组
T 1
,
T 2
,
m
T
,
构成一个m n矩阵
B
T 2
mT
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
一、 n 维向量的定义及运算
1.1、 n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如 (1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
例
(a a2 a12
a22
ij)mn
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有n个m维列向量
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
1.2、 n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 ,,an )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
= ai = bi
零向量： = (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
Rn :
n 维向量的全体.
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k • =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
bj k1 j1 k2 j 2 kmj m
k1 j
（
1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
（
b1
,
b2
,, bs
)
（ 1
,
2
,,
m
)
k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵Kms (kij )称为这一线性表示的系 数矩阵.
若Cmn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数 矩阵：
P(x, y,z)
一一对应
r ( x, y, z)T
n 3时，n 维向量没有直观的几何形象．
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
叫做 n维向量空间．
x( x1, x2,, xn)T a1 x1a2 x2an xnb
叫做 n维向量空间 Rn中的n 1维超平面．
sT
设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
1 1 1 0 6
A : a1
1 , a2
2
,
a3
0
,
a4
1
,
b
7
2a1 3a2 a3 a4 b
• 向量b能由向量组A线性表示.
b x1a1 x2a2 x3a3 x4a4
方程组
x1 x2 x3 6 x1 2x2 x4 7
有解.
定义２ 设有两个向量组
A : 1,2 ,,m及B : 1, 2 ,, s .
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．
例
1 0
设有两个向量组A
:
a1
0 ,
a2
1
,
及B :b1
1 1,b2
1 2
,
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x, y, z, , , )
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2,,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成