第8章 相量法

i(t ) I m cos(wt j ) 2Icos(wt j )
同理，可得： 若交流电压有效值为 U=220V ，
U=380V Um537V
U m 2U
其最大值为 Um311V
电 路
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相量
注意
法
①工程上的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定 值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大 值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
i(0)=100cosj =50 j = -/3 j = ±/3
∴ i(t)=100cos(103t -/3) 2. i(t1)=100cos(103t1 -/3) =100
t t1
0
即 103t1 -/3=0
t1 =1.047ms
电 路
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法
例 计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 (t)=10cos(100t +3/4) i2 (t)=10cos(100t -/2)
电 路
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相量
法
(3) i1 (t)=10cos(100t +30o) i2 (t)=10cos(200t +45o)
w1 ≠ w2
不能比较
u1 (t)=5cos(100t -30o) (4) u2 (t)=-3cos(100t +30o)
将u2写成正cos函数： u2 (t)=3cos(100t -150o)
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
I
电 路
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法
8.2 正弦量
一. 正弦量的三要素： i + u _ i
i ii 0
i(t)=Imcos(wt +j )
=0 jj == /2 /2
j
wt
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值): Im (2) 角频率(angular frequency) : w
w
j2
I2
w
j3
结论 同 频 的 正 弦 量
相加仍得到同频的正弦量. 所以，只需确定初相 位和有效值。因此采用
I3
i2
wt
正弦量
复数
电 路
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相量
2. 正弦量的相量表示
法 无物理意义
造一个复函数: F (t ) 2Iej(w t j )
2Icos(wt j ) j 2Isin(wt j )
(3) 初相位(initial phase angle):
j
一般 |j |
电 路
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二. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos(wt+ju), i(t)=Imcos(wt+ji) 相位差 △j = (wt+j u) - (wt+j i) =j u -j i
wt
j = 90°
i u 领先 i 90° 或 i 落后 u 90°
0
wt
规定： | j | (180°)
电 路
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法
三. 有效值(effective value) 1. 定义
1 I T
def

T
0
i 2 ( t )dt 有效值也称方均根值
物理意义: 直流I
R
交流 i
R
W RI T
①把时域问题变为复数问题； ②把微积分方程的运算变为复数代数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
电 路
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相量
注意 ① 正弦量(时域) 正弦波形图
法
相量(频域) 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 线性电路。
N
线性
w1 w2
N
线性
w
非 线性
不适用
③相量法用来分析正弦稳态电路。
Re( 2 U 1 e
得：


jw t
jw t
) Re( 2 U 2 e jw t )
2U 2 e


jw t
U U U 1 2
jw t Re[ 2 ( U U ) e ] 1 2 ) U


同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
电 路
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这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域
法
i1 i2 = i 3
=I I I 2 1 3
时域 频域
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 变量分析电路。 频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。 相量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析, 属于频域分析。
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i(t ) 50 2cos(314t 15 ) A
电 路
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法
3. 相量图
Ij i(t ) 2Icos(ω t ji ) I i
Uj u(t ) 2Ucos(wt ju ) U u
+j
U

ju j I i

+1
电 路
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法
4. 相量运算
法
j >0: u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u j <0: i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
u, i
u i
0
ju
△j
wt
ji
电 路
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特殊相位关系：
法
j = 0， 同相：
u, i
0 u, i u u i
j = ( 180o ) ，反相：
u, i i 0 u
wt
△j = - 30o +150o = 120o 注意 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、 同符号，且在主值范围比较。
电 路
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8.3 相量法的基础
1. 问题的提出 电路方程是微分方程：
d 2uC duC LC 2 RC uC u (t ) dt dt
法
L + + u ( t) u C C -
jj
法
e jwt 2Ie e jwt 2I
F(t) 包含了三要素： I、 j 、w， 复常数包含了两个要素： I、 j 。
i(t ) 2Icos(w t j )

复常数
正弦量对 应的相量
I Ij
注意
相量的模表示正弦量的有效值， 相量的幅角表示正弦量的初相位。
u(t ) 2Ucos(w t )
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电压有效值
1 U T
def

T
0
u 2 ( t )dt
电 路
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2. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Im cos(w t + j )
def
法
1 I T

T
0
i 2 ( t )dt
2 T 1 T 2 Im 2 2 I I cos ( w t j ) dt cos (wt j )dt m 0 0 T T T T 1 cos 2(wt j ) 1 T T 2 ∵ cos (wt j )dt dt t |0 0 0 2 2 2 2 Im Im T I I m 2I 注意:只适用正弦量 2 T 2
o (2) u1 (t)=10cos(100t +30 ) u2 (t)=10sin(100t -15o) 将u2写成cos函数：u2 (t)=10cos(100t -105o)
3 5 j ( ) 2 4 4 5 3 j 2 4 4
△j = 30o +105o = 135o
Im
U
U
U 2
30
60

U 2
60
41.9
U 1
Re
U 1
30
Re
41.9
首尾相接
电 路
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法
(2) 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t ji )
dt dt
Ij I i
jw e jw t 微分运算 di d Re 2 Ie jw t Re 2I
例
u1 (t ) 6 2cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2cos(314t 60 ) V
o
法
求 u(t ) u1 (t ) u2 (t )
630o V U 1 460o V U 2
解 方法1 将正弦量写成相量式：
U U = 6∠30°+4∠60° U 1 2
② 测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为 有效值。 ③ 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号:
i , Im , I ,
u , Um , U
电 路
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相量
例
法， 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1 解1. i(t)=Imcos(wt+j) =100cos(103t+j) 100 50 i


iI
di wI(ji 90) jw I dt
jw t I jw t 积分运算 idt Re[ 2 Ie ] dt Re 2 jw e
iI
1 I idt jw I w (ji 90)
电 路
第8章
= 5.196+j3 +2+j3.464
7.196 j 6.464
= 9.67∠41.9°V
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) 9.67 2cos(314t 41.9o ) V
电 路
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法
方法2 借助相量图计算
1 630o V U
Im
2 460o V U
对 F(t) 取实部: Re[F (t )] 2Icos(w t j) i (t )
正弦量
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
i(t ) 2Icos(w t j )
F (t ) 2Iej(w t j )
电 路
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相量
F(t) 还可以写成： F (t ) 2Iej(w t j )
| F | j | F | (cosj j sin j )
Im b 0 F |F|
j
a Re
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
(2) 乘除运算——极坐标
F1 F2 F1 F2 j1 j2
电 路
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3. 旋转因子
复数 ejj = cosj + jsin j = 1∠j Aejj
电 路
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相量
法
第8章 相量法
本章重点
8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础
电路定律的相量形式
小结
电 路
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相量
法
重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
电 路
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法
8.1 复数
1. 复数的表示形式
F a jb
F e jj
(1) 同频率正弦量相加减
u1 (t ) 2 U1cos(wt j1 ) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 (t ) 2 U 2cos(wt j2 ) Re( 2 U 2 e jw t )


u(t ) u1 (t ) u2 (t )
Re( 2 U 1 e
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
U U

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例1 已知
i(t)=141.4cos(314t u(t)=311.1cos(314t -60o)V

+30o)A法ຫໍສະໝຸດ 试用相量表示i, u。 解
I 10030A , U 220 60 V


例2 已知 I 5015 A, f 50Hz 试写出电流的瞬时值表达式。 解： w=2f =314 rad/s
e
j
法
A逆时针旋转一个角度j ，模不变

2
2 2 j 190 j( ) 2 e cos( ) j sin( ) 2 2 j 1 90
cos

j sin

Im
jI
0
I
Re
jI
e j ( ) cos( ) j sin( ) 1
电 路
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相量
法
8.4 电路定律的相量形式
1. 电阻元件VCR的相量形式 时域形式：i(t ) 2 I cos(w t ji ) i( t) + u R( t ) R
R i
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos(w t j1 )
+ i2
2 I 2 cos(w t j2 )
= i3
2 I3 cos(w t j3 )
电 路
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相量
i1
角频率 有效值 初相位 u, i i1 o
i2
i1+i2 i3
法
w
j1
i3 I1
相量
例
法
i( t)
已知 i 2 I cos(w t ji )，求u(t )
+ R L u ( t) C -
解
di 1 u (t ) Ri L idt dt C
用相量运算：
用相量运算的优点：
I RI jwLI U jwC 1 ( R jwL )I jwC