第8章相量法
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第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
相量法
▪幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为 正弦量的三要素。
二、同频率正弦量的比较 例：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
(1) 相位差：相角或相位之差，也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的 初相之差，而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值 1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
部分别相加或相减。
复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平 面上用作图法来进行。
(3)乘法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。 A• B ab(a b ) abe j(a b )
即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。 (4)除法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A/ B a / b(a b ) a / be j(a b ) 即：复数相除，其模相除，其辐角相减。 (5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。
同理：
U
1 2
Um
0.707 U m
U m 2U
▪通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法
电路(第五版).-邱关源原著-电路教案--第8章相量法第8章 相量法● 本章重点1、正弦量的两种表示形式；2、相量的概念；3、KVL 、KCL 及元件VCR 的相量形式。
● 本章难点1、 正确理解正弦量的两种表示形式的对应关系；2、 三种元件伏安关系的相量形式的正确理解。
● 教学方法本章是相量法的基础，对复数和正弦量两部分内容主要以自学为主，本章主要讲授相量法的概念、电路定律的相量形式以及元件V AR 的相量形式。
讲述中对重点内容不仅要讲把基本概念讲解透彻，而且要讲明正弦量的相量与正弦时间函数之间的对应关系；元件V AR 的相量形式与时域形式之间的对应关系，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章对元件的功率和能量这部分内容作了简单讲解，以便为下一章的学习打下基础。
本章共用4课时。
● 授课内容8.1复数1. 复数的三种表示bj a A += 直角坐标=θ∠r 极坐标 =θj re 指数形式θθθsin cos 22r b r a ab arctgb a r ==⇒=+=⇒直极极直θθsin cos jr r A += 三角表示形式欧拉公式：θθθsin cos j e j +=2. 复数的运算已知：11111θ∠=+=r jb a A ，22222θ∠=+=r jb a A求：212121,,A AA A A A ⋅±i()()212121b b j a a A A ±+±=±212121212121θθθθ+∠=+∠=⋅r r A A r r A A 8.2正弦量一、正弦量：随时间t 按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i 、u 表示。
周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。
周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
电气自动化专升本电路复习 8章 相量法
8－1 将下列复数化为极坐标形式：
（1） F1 = −5 − j5 ；（2） F2
= −4 + j3 ；（3） F3
= 20 + j 40 ；
（4） F4 = j10 ；（5） F5 = −3 ；（6） F6 = 2.78 + j9.20 。
解：（1） F1 = −5 − j5 = a ∠θ
a = (−5)2 + (−5)2 = 5 2
第八章 相量法
求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量 法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳 态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画 出电路的相量模型，利用 KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电 流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握 ：（1）正弦信号的 相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4） 复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。
F1
10∠ − 73o F5 = 5∠ −180o
= 2∠ − 73o + 180o = 2∠107o
8－6 若已知。 i1 = −5 cos(314t + 60o )A,i2 = 10 sin(314t + 60o ) A, i3 = 4 cos(314t + 60o )A
（1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） i1与 i2 和 i1与 i3 的相位差； （3） 绘出 i1的波形图； （4） 若将 i1表达式中的负号去掉将意味着什么？ （5） 求 i1的周期 T 和频率 f。 解：（1） i1 = −5 cos(314t + 60o ) = 5cos(314t + 60o − 180o ) = 5cos(314t −120o )
8第八章相量法
瞬时功率以2交变。但始终大于零， 表明电阻始终是吸收（消耗）功率。
diL i L L 2.电感L： u L L dt u + L jωL
U L jL I L
I L
U L L I L
即： ψu =ψi +
+
U L
ψu 0
ω L具有 电阻的 量纲！
+j
可看出电感L的电压超前电流 2
初相位 和相位差应取180º~~―180º(主值)范围内。
当0，称u超前i；当0，称u滞后i。
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i u i
= ( 180o ) ，反相：
u, i i 0 u
0 u, i
u
t
t
=± 90° ，正交
i
0
即u 超前i 90°或 u滞 后 i 90° ，而不说 u t 落后 i 270°或 u领先 i 270°。
+1
同样，正弦电压的相量为
U U u
相量是一个复数， 它表示一个正弦量， 所以在符号 字母上加上一点， 以与一般复数相区别。 特别注意， 相量只能表征或代表正弦量而并不等于正 弦量。 二者不能用等号表示相等的关系，只能有相对 应的关系 . . i (t ) I i (t ) 2 Re I t . . u (t ) U u (t ) 2 Re U t
A
-B O 1 2 实部(+1)
A+B
三角形法则
若A+B+C则
多边形法则
B 四边形法则
三.复数的乘除 →通常采用极坐标式
电路课件 电路08 相量法32页PPT
工程中以频率区分，如音频、高频、甚高频电路。
φi是在t=0时刻相位，称初相位(角)，简称初相：
(ωt+φi)|t=0 =φi 单位用弧度或度，主值范围内取值，|φi|≤180°
初相与计时零点有关。任一正弦量初相允许任意指定， 但一个电路许多相关正弦量，只能相对共同计时零点 确定各自相位。
正弦量三要素是正弦量间进行比较和区分的依据。
图8-4正弦电流i，在参考方向下，数学表达式定义：
i=Imcos(ωt+φi)
(8-1)
3个常数Im、ω和φi称正弦量三要素。
Im称正弦量振幅，是正弦量在整个振荡过程中达到最
大值，即cos(ωt+φi)=1时，有 imax=Im
也是正弦量极大值。
cos(ωt+φi)=-1时，
有最小值(也是极小值)：
复数相加和相减运算可按平行四边形法在复平面 上用向量相加和相减求得，图8-2。
19.04.2020
第八章 相量法
8-1 复 数
4
两个复数相乘
复数相乘用指数形式方便： F1F2 =|F1|ejθ1|F2|ejθ2 =|F1||F2|ej(θ1+θ2)
所以： |F1F2|=|F1||F2|
arg(F1F2)＝arg(F1)+arg(F2) 两个复数相乘的代数形式：
F 13 j4 5 5.1 3 0 .5 1.1 8 0 8 .5 1.9 7 1 F 2 1 1 0 31 5 1 0 35
19.04.2020
第八章 相量法
8-1 复 数
9
8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。
正弦量数学描述，可用sine函数，也可用cose函数。 本书用cose函数。
第8章 相量法
T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
1.复数的表示形式 (1)代数形式 b 0
+j
F
r
θ
a +1
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
F r
a b
u(t ) 2U cos( t u )
X Y 53.1
xy 3 X Y
4
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘（除）:使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二．正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第8章 相量法
*不同频率正弦量无固定的相位关系
j > 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u
u, i u i
u
0
t j i
j < 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系： u, i 0
t
u i
u, i i
u
0
t
j = 0， 同相：
u, i u i 0
j = ( 180o ) ，反相：
1. 正弦量的三要素： 以电流为例 i
R
i(t ) Im cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：
2. 正弦量的相量 复函数
F (t ) 2Ie j(t ) 2Icos( t ) j 2Isin( t )
则
i 2 I cos( t ) Re [F (t )] Re[ 2Ie j ( t ) ] Re[ 2( Ie j )e j t ]
'
0
F +1
由于
e
j > 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u
u, i u i
u
0
t j i
j < 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系： u, i 0
t
u i
u, i i
u
0
t
j = 0， 同相：
u, i u i 0
j = ( 180o ) ，反相：
1. 正弦量的三要素： 以电流为例 i
R
i(t ) Im cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：
2. 正弦量的相量 复函数
F (t ) 2Ie j(t ) 2Icos( t ) j 2Isin( t )
则
i 2 I cos( t ) Re [F (t )] Re[ 2Ie j ( t ) ] Re[ 2( Ie j )e j t ]
'
0
F +1
由于
e
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相量法
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
第八章 相量法
0
e
j90
cos 90 j sin 90 j
e
j 90
90
0
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
0
re jψ A
re
j ( )
A e
旋转 90 因子：
e
j 90 B
+j
+ UA N
–
uA 220 2 cos 314 t V
+ A
U AB N
UC +
– –
U A 220 0 V UB 220 120 V UC 220 120 V
UB +
–
B
C
由KVL定律可知
UAB 220 V 220 cos ( 120 ) j sin ( 120) V
求：i i1 i2 。
i2 11 2 cos(314 t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
re jψ A
A e
re
j ( )
A e
j
re
j ( )
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模 不变。 故把 ej 称为旋转因子。 旋转 90 因子：
3. 正弦量的相量表示
e
j90
cos 90 j sin 90 j
e
j 90
90
0
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
0
re jψ A
re
j ( )
A e
旋转 90 因子：
e
j 90 B
+j
+ UA N
–
uA 220 2 cos 314 t V
+ A
U AB N
UC +
– –
U A 220 0 V UB 220 120 V UC 220 120 V
UB +
–
B
C
由KVL定律可知
UAB 220 V 220 cos ( 120 ) j sin ( 120) V
求：i i1 i2 。
i2 11 2 cos(314 t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
⑥“j”的数学意义和物理意义 设相量
e
j
cos j sin 1
j
re jψ A
A e
re
j ( )
A e
j
re
j ( )
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模 不变。 故把 ej 称为旋转因子。 旋转 90 因子：
3. 正弦量的相量表示
chap8相量法(修改)
cos
T 0
2
( wt y ) dt
T
0
cos 2(wt y ) 1 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
Im 1 2 T I Im 0.707 I m T 2 2 Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) I m cos(wt y ) 2I cos(wt y )
时域列写微分方程
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
四. 相量图 1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中； 2. 以w 角速度反时针方向旋转；
3. 选定一个参考相量(设初相位为零)
+ UL -
选 ÙR为参考相量
IR
IC
jw L
IL
+
U
IC
u Ri di uL dt 1 u idt C
I 0 U 0
U RI
二. 电路元件的相量关系
U jwLI 1 I U jw C
三. 电路的相量模型 (phasor model ) iR jw L L + uS 时域电路
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
IR
iL
iC C
R
US
+ -
IL
1/jw C
IC
R
相量模型
I L IC I R
1 jwLI L IC US jwC 1 I RI R C jwC
1/jw C
UC R
第8章_相量法
(3) 由于复数感抗的存在使电流滞后电压。
22
3、电容： i (t) + u(t) 时域模型 时域
u(t ) 2U sint
频域
U0 o U
I
C
du (t ) i(t ) C dt 2CU cost 2CU sin( t 90o )
jC U I
有效值关系 I=C U 相位关系 i 超前u 90°
jC U I
1 U j C 相量模型
+
I
U
1 U I j 1 I j C C
三个含义：
相量图
23
容抗： X C
定义
1 C
错误的写法 1 u C i
1 U C I
容抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
注 意
① Ψi 与参考方向的设定有关，不同则差180º 。 ②正弦量的一个重要性质： 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
定义： 随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
u 在图示参考方向的前提下， +
i(t ) I m cos(t i )
5
注意： 方向是随时间在周期性的变化， 所以更要标定参考方向。
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T： 变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω： 每秒变化的弧度数。单位：rad/s 2、大小及有效值： ①瞬时值： 小写，任一时刻的实际值。 ②最大值： 幅值，最大的瞬时值。峰峰值
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难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。 主要是相位关系
是学习第 9~12 章的基础，必须 熟练掌握相量法的解析运算。
2013年7月5日星期五 2
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2013年7月5日星期五
5
复数乘、除的图解
+j q2
F=F1F2
2013年7月5日星期五
i1
i p o 2p
3p
wt
对任一正弦量，初相可 以任意指定。但相位。 常取主值：|fi|≤180o
14
2. 同频率正弦量的相位差 ！ 设：i1=Imcos(wt+fi1)，u2=Umcos(wt+fu2) 即初相之差 相位差j12定义为：j12 = (wt+fi1)-(wt+fu2) =fi1-fu2 j12 (1)j12＞0 ，称 i 超前 u ， i1，u2 或 u 滞后 i ，表明 i 比 u i1 u 先达到最大值； wt (2)j12＜0 ，称 u 超前 i ， -p 或 i 滞后 u，表明 u 比 i 先达到最大值；
o p
2
2p
3p
j12
j12
改变计时起点，初相不同，但相位差不变！ 相位差一般取主值，即j12 ≤| p |。
2013年7月5日星期五 15
i1，u2
i1，u2
i1
i2 Z
o
p
2p
wt
o
p
2p
wt
+ u2 -
j12=0，i1与u2同相
i1，u2
j12=180o，i1与u2反相
改设参考方向时， 该正弦量 的初相改变p，因此与其它 正弦量的相位差都改变p。 两个正弦量进行相位比较时 应满足同频率、同函数、同 符号，且在主值范围比较。
+j Aejq q qa o
A
+1
任意一个复数A=|A|ejqa乘以 ejq ，等于把A逆时针旋转q 角度，而模|A|保持不变。
e
p j 2
2
=j = -j
都是旋 转因子
e
-j p
e jp = -1
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。 A = -jA，等于把 A j 顺 时针旋转90o。
则： i = Re[Im e j(wt+fi) ] = Re[Im e jfi e jwt ] . = Re[ Im e jwt ] 这是一个特殊的复数，其特点是辐角随时间变化。 . 其中， Im = Im e jfi 这是一个与时间无关的复数， 模是该正弦电流的振幅，辐角是初相。
2013年7月5日星期五 18
diL uL = L dt
微分性质
UL= L(jw) IL UL= jwL IL
.
.
.
.
+ . u UL . UL +j
. i IL LjwL
在L中，电压超前于电流90o !
或电流滞后于电压90o ! 有效值的关系： UL=wLIL UL = wL IL
fu
o
. IL
fi
+1
wL也具有电阻的量纲。并与频率 f 成正比！
第八章 相量法
内容提要 1.正弦量及其三要素、相位差的概念；
2.相量法的概念及其性质；
3.电路定律和元件VCR的相量形式。 . Im= 5∠45o A . Um o Z = . =20∠-45o W 45 Im . Um= 100∠0o V
2013年7月5日星期五 1
重点
1.正弦量和相量之间的关系； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的 相量形式。
8
正弦量的时域表达式有两种形式 i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi) 也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。
采用的形式以教材为准：
i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu)
2013年7月5日星期五
9
1. 正弦量的三要素（以电流为例）
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi) (1)振幅Im、有效值I (要素之一) 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度 ； 在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
i Im -p o p 峰-峰值2Im
2p
wt
3p
-Im
正弦量的波形
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2013年7月5日星期五
2013年7月5日星期五
+j
. Um
fu fi
. Im +1
o
w
旋转相量的实 部等于正弦量
20
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21
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22
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25
引入相量的优点是
把时域问题变为复数问题； 把微积分方程的运算变为复数方程运算； 需要注意的是
7
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§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变 化的电压或电流，统 称正弦量。 研究正弦电路的意义 是正弦交流电有很多 优点，使它应用广泛。 例如： ①可以根据需要，利 用变压器方便地把正 弦电压升高或降低；
2013年7月5日星期五
②电机、变压器等电气设 备，在正弦交流电下具 有较好的性能； ③正弦量对时间的导数、 积分、几个同频率正弦 量的加减，其结果仍是 同频率的正弦量，这不 仅使电路的分析计算变 得简单，而且其结果还 可以推广到非正弦周期 电流电路中。
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值 i、u ，振幅 Im、Um 和有效值 I、U 的符号。 另外注意IM(Imax)。
2013年7月5日星期五
17
1. 相量 正弦量的相量要追溯到欧拉公式: e jq = cosq + jsinq 则 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi) 若 q =wt+fi
根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行分 析 求解，就能得到全部结果。 设： i = Im cos (wt+fi)
用相量表示的CCCS
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本章结束
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19
正弦量与相量的关系是一种数学 变换关系。不是相等的关系！
正弦量→相量，可认为是正变换； 相量→正弦量，可认为是反变换。 . Im . . fi Im = Im Um 是 [Im e jfi e jwt ] 的复常数部分。 i = Imcos (wt+fi)
是 [Ime jfi e jwt] 的实部。 任意时刻，两者相对位置不 变。因此，可用不含旋转因 子ejwt的复数表示正弦量。
2013年7月5日星期五 29
2013年7月5日星期五
30
4. 受控源的相量表示 控制系数、g、r和都是常数，因此，根据相量 的比例性质，可以直接用与正弦量对应的相量表 示。 . .
+
ib ib + ube rbe
uce
-
+ Ib . Ube rbe -
Ib
+ . Uce -
-
用瞬时值表示的CCCS
相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相 量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数 代数方程问题的分析； 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线电路； 相量法用来分析正弦稳态电路。
2013年7月5日星期五
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28
(2)电感元件
|F2|F1
+j F1 |F2|
F1
F1 q2 F= F 2 F2 q q2 q=q1-q2
1
o
F1 F2 q=q1+q2 q1 q2 +1
o
+1
乘： F1 的模被放 大|F2|倍，辐角逆 时针旋转q2 。
2013年7月5日星期五
除： F1 的模被缩 小|F2|倍，辐角顺 时针旋转q2 。
6
3. 旋转因子ejq 旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
2013年7月5日星期五
12
2013年7月5日星期五
13
(3) 相位角、初相角fi (要素之三) 反映正弦量的计时起 点，常用角度表示。
fi1
i i
fi
①相位角(wt+fi)： 随时 o -p 间变化的角度, 单位： fi rad 或 (o) ② t=0时刻的相位角fi 称为初相角。 计时起点不同，初相位 不同。若正最大值发生 在计时起点之前，则初 相位为正，之后为负。
16
o
p
2p
wt
j12=90o，i1与u2正交
2013年7月5日星期五
§8-3 相量法的基础
在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流 (响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用 KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减 运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分 繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路 分析得到简化 。 相量表示法的实质是用复数表示正弦量。是 求解正弦电流电路稳态响应的有效工具。