概率论-4-1 数学期望

E( X ) xk pk .
k 1
收敛就是当x取无穷时,函数数列趋向于一个定值.如果一 个函数数列加绝对值以后还是收敛的,那就是绝对收敛
说明：
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权 平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随 机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
求 X 的数学期望。
解 由数学期望定义
EX PX 11 PX 0 0 p 1 1 p 0 p.
★ 例2 设 X ~ Bn, p ，求 EX 。
解 已知二项分布的分布列为
PX k Cnk pk 1 p nk , k 0,1,2,,n
2. 连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x), 若积分

x f (x)d x
绝对收敛, 则称积分

x
f
(x)d
x
的值为随机

变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即

E( X ) x f ( x)d x.
例5 设 X 服从 a,b区间上的均匀分布，求 X
f

x


e

x
0
, ,
x 0, 0,
x 0,
从而所求数学期望为
E( X ) xe x dx xde x
0
0
xe x e x dx 1
0
0

★ 例7 对服从正态分布 N , 2 的随机变量X ，
求其数学期望。
解 已知 X 的概率密度为
f x
1
x 2

e
2 2
, x , ,
2
则所求数学期望为


E X x f x dx
x
x 2

e
2 2
dx,
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
作变换 t x ，得到

EX
第一节 数学期望
一、数学期望 二、数学期望的性质
【引例】某班级有40名学生，18岁的有5人，19 岁的有15人，20岁的有15人，21岁的有5人，则 该班级学生的平均年龄为
185 1915 2015 215 18 5 19 15 20 15 21 5 19.5
由此
E
(
X
i
)

1


9 10
20
,
i 1,2,.
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)

101



9 20
10



8.784(次).
二、数学期望的性质
1. 设 C 是常数, 则有 E(C ) C. 证明 E( X ) E(C) 1 C C.
第四章 随机变量的数字特征
随机变量的概率分布能够完整地描述随机 变量的概率性质. 但是这还不足以给人留下 直观的总体印象.
有时不需要去全面考察随机变量的整体变 化情况，只需知道随机变量的某些统计特 征就可以了．
例如，在检查一批棉花的质量时，只需要 注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平 均长度的偏离程度．
P{ X 3} 1 e x 10 d x 3 10 e0.3 0.7408.
因而一台收费 Y 的分布律为
Y 1500 2000 2500 3000 pk 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 得 E(Y ) 2732.15, 即平均一台家用电器收费 2732.15 元 .
(xi y j )pij
i
j
xi pi y j p j E( X ) E(Y ).
i
j
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E( XY ) E( X )E(Y ).
说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
四、小结

1.离散型随机变量 X : E( X ) xk pk . k 1
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E(CX ) CE( X ).
证明 E(CX ) Cxk pk C xk pk CE( X ).
k
k
3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有
E( X Y ) E( X ) E(Y ).
证明
E(X Y)
再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看 这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平 均寿命的偏差．
从这两个例子可以看到，某些与随机变量 有关的数字，虽然不能完整地描述随机变 量，但却可以概括描述它在某些方面的特 征．这些能代表随机变量主要特征的数字 ，称为随机变量的数字特征．
本章介绍随机变量的几个常用数字特征： 数学期望、方差、协方差和相关系数．
解 引入随机变量 Xi ,
0, 在第 i 站没有人下车,
Xi


1,
在第 i 站有人下车,
则 X X1 X2 X10.
i 1,2,,10.
则有
P{ X i

0}


9
20
,
10
P{ X i

1}

1
9 20, 10
i 1,2,,10.
解 已知泊松分布列为：
从而
PX k k e , k 0,1,2,
k!
EX k PX k k k e
k 0
k0 k!

e
k 1
k 1
k 1!

e
e


★例4 商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为X (以年计),规定 : X 1,一台付款1500元;1 X 2,一台付款2000元; 2 X 3,一台付款2500元; X 3,一台付款3000元.
设寿命 X 服从指数分布,概率密度为
f
(x)

1 e x 10
连续型随机变量
X:
E(X )

x f (x) d x.

2. 数学期望的性质
1o E(C ) C; 2o E(CX ) CE( X ); 3o E( X Y ) E( X ) E(Y ); 4o X ,Y 独立 E( XY ) E( X )E(Y ).
3. 常见随机变量的数学期望
名称
0-1分布 二项分布 泊松分布 几何分布
E( X )
p
np

1/ p
名称 均匀分布 正态分布 指数分布
E( X )
ab 2

1

则 X 的数学期望为
n
n
EX

k
PX

k


k
C
k n

pk
1
p nk
,
k0
k0
n-1
np
C k 1 n1

pk1
1
p
nk
,
k -10
np p 1 p n1 np
★例3 设 X 服从参数为 的泊松分布，求 EX 。
10 ,
0,
x 0, x 0.
试求该商店一台家用电器收费 Y 的数学期望.
解 P{ X 1} 1 1 e x 10 d x 1 e0.1 0.0952, 0 10 P{1 X 2} 2 1 ex 10 d x 1 10 e0.1 e0.2 0.0861, P{2 X 3} 3 1 ex 10 d x 2 10 e0.2 e0.3 0.0779,
的数学期望。
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x


b


a

0
, x a,b ，
从而
, 其它。
Ex


xf
xdx

b
a
x

b
1
dx a

1 2
a

b
正好是区间a,b 的中点。
★ 例6 设 X 服从参数为 的指数分布，求X 的数
学期望。
解 已知 X 的概率密度为
40
40
40
40
40
事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值
1. 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1,2,.


若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即


t2
e 2 dt

t2
te 2 dt
2
2
2 0 2
即正态分布 N , 2 的第一个参数 就是
随机变量 X 的均值。
★ 例8 一机场班车载有20 位旅客自机场开出, 旅 客有 10 个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅 客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数, 求 E( X ) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各 旅客是否下车相互独立) .
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
例1 对服从（0—1）分布的随机变量 X ， 其分布列为：
PX 1 p, PX 0 1 p。