第3章 轨道力学分析

q ( x) = uy ( x ) ♦ 即假设x坐标处的轨下基础反力与 坐标处的轨下基础反力与x处的钢 即假设 坐标处的轨下基础反力与 处的钢 轨位移成正比。这相当于基础是由连续排列， 轨位移成正比。这相当于基础是由连续排列， 但相互独立的线性弹簧所组成， 但相互独立的线性弹簧所组成，每个弹簧的变 形仅决定于作用在其上的力， 形仅决定于作用在其上的力，而与相邻弹簧的 变形无关。 变形无关。
24 u r2 = (1 − i ) 2 EI
r3 =
24 u (−1 + i) 2 EI
r4 =
24 u (−1 − i) 2 EI
令
24 u u 4 k= = 2 EI 4 EI
k的引进既是为了方程的解表达式简便，又 的引进既是为了方程的解表达式简便， 的引进既是为了方程的解表达式简便 有明显的物理意义。它叫作钢轨基础与钢轨的 有明显的物理意义。 刚比系数。 刚比系数。轨道的所有力学参数及相互间的关 系均反映在k中 系均反映在 中。任何轨道参数的改变都会影响 k， k的改变又将影响整个轨道的内力分布和 k，而k的改变又将影响整个轨道的内力分布和 部件的受力分配，因此k又可称为轨道系统特性 部件的受力分配，因此 又可称为轨道系统特性 参数。 参数。 则方程的通解为： 则方程的通解为： y＝C1ekxcoskx＋C2ekxsinkx ＝ ＋ ＋C3e-kxcoskx＋C4e-kxsinkx ＋ 式中C 为积分常数，由边界条件确定。 式中 1～C4为积分常数，由边界条件确定。
由边界条件① 由边界条件①，当x→∝时位移有界，有 ∝时位移有界， C1=C2＝0 由边界条件② 由边界条件②，当x＝0时，转角为零，有 ＝ 时 转角为零， C3＝C4= C 由边界条件③ 由边界条件③，轨下基础反力的总和与钢轨 荷载相等， 荷载相等，有
2∫
∝ 0
uydx
= P0
则
C=
P0 Pk ＝ 0 8EIk 3 2u
♦ ♦
一、单个静轮载作用下的解 1．微分方程 ． 在连续支承梁模型中， 在连续支承梁模型中，钢轨是连续弹性支 承上的梁，在静载作用下设位移曲线（以向下 承上的梁，在静载作用下设位移曲线（ 为正） 为正）为y (x)，轨下基础对钢轨的分布反力 ， 以向下为正） （以向下为正）为q(x)。 根据文克尔假定，基 。 根据文克尔假定， 础反力与位移成正比， 础反力与位移成正比，有
由材料力学可得： 由材料力学可得：
EIy( x) ( 4 ) = −q( x)
将q(x)的表达式代入得连续支承梁模型的 的表达式代入得连续支承梁模型的 微分方程： 微分方程： 即
EIy ( x) ( 4 ) = −uy ( x) u (4) y ＋ y＝0 EI
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。 这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
♦ (1)轨下基础等效刚度： 轨下基础等效刚度： 轨下基础等效刚度 ♦ 轨枕相当于由一系列刚度为 的 轨枕相当于由一系列刚度为c的
并联弹簧支承，因此，枕下基础可 并联弹簧支承，因此， 等效为一根弹簧，其值为： 等效为一根弹簧，其值为： ♦ 考虑到轨枕挠曲变形会降低轨下 l Db = αcb 基础刚度，引进轨枕挠曲系数α 基础刚度，引进轨枕挠曲系数 2 修正。 修正。 混凝土枕可看是作刚性的， ； 混凝土枕可看是作刚性的，取α＝1； 木枕的弹性很好， 木枕的弹性很好，取α＝0.81～0.92。 ～ 。
♦
♦ ♦ ♦
2．边界条件 ． 在单个荷载作用下， 在单个荷载作用下，由于假定钢轨无 限长，总可把荷载作用点看作是对称点， 限长，总可把荷载作用点看作是对称点， 边界条件为 ① 在钢轨两端无穷远处位移有界 在荷载作用点钢轨无转角： ② 在荷载作用点钢轨无转角：dy/dx=0 ③ 轨下基础反力的总和与钢轨荷载相等
2.连续支承梁模型 连续支承梁模型 若近似地把轨枕的支承看作均匀分布在轨枕 间距内连续支承的钢轨梁，则为连续支承梁模型， 间距内连续支承的钢轨梁，则为连续支承梁模型， 其支承刚度为钢轨基础弹性模量。 其支承刚度为钢轨基础弹性模量。 模型中钢轨视为支承在弹性基础上的等载面 无限长欧拉梁 。
P
u
♦ 两种理论变形等计算结果相差不大，但二者 两种理论变形等计算结果相差不大，
♦ 计算假设： 计算假设： ♦ (1)标准结构 标准结构 ♦ (2)对称结构 对称结构
假设结构和受力均对称， 即假设轨道 假设结构和受力均对称 ， 刚度均匀且对称于轨道中心， 机车车辆不 刚度均匀且对称于轨道中心 ， 偏载， 从而两股钢轨上的静轮载相等， 偏载 ， 从而两股钢轨上的静轮载相等 ， 因 此模型都只取轨道的一半 ♦ (3)不考虑轨道结构本身的自重 不考虑轨道结构本身的自重
二、计算参数 1.道床系数 道床系数C 道床系数 道床系数是表征道床及路基的弹性特 征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 量纲为力/长度 量纲为力 长度3。 2.钢轨支座刚度 钢轨支座刚度D 钢轨支座刚度 ♦ 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度， 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时， 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度 长度。 座顶面的力，其量纲为力 长度。
u = D/a
♦
C、 D两个参数随轨道类型 ， 路基 、 道床状 、 两个参数随轨道类型 路基、 两个参数随轨道类型， 况及环境因素而变化，离散性很大， 况及环境因素而变化 ， 离散性很大 ， 在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
木枕轨道C、D值
♦ 轨道结构的设计 、 养护和维修都需要了解 轨道结构的设计、
轨道结构各部件的应力和变形。 轨道结构各部件的应力和变形。 ♦ 虽然轨道结构是在动荷载作用下工作 ， 应 虽然轨道结构是在动荷载作用下工作， 力和变形都是动态的， 力和变形都是动态的 ， 但目前的计算是在 静力分析的基础上再考虑动力因素的影响。 静力分析的基础上再考虑动力因素的影响 。 ♦ 现有的轨道结构设计实质上还是静力强度 设计。 设计。 ♦ 本章主要介绍静力分析理论。 本章主要介绍静力分析理论。
故钢轨的位移 P0 k − kx y= e (cos kx + sin kx) 2u 钢轨弯矩
P0 − kx M = − EIy ′′ = e (cos kx − sin kx) 4k 4k
枕上压力(是轨枕间距与钢轨支承反力 的乘积 枕上压力 是轨枕间距与钢轨支承反力q的乘积 是轨枕间距与钢轨支承反力 的乘积)
轨道类型 参 数 特重型、 特重型、重型 D (kN/cm) C (MPa/cm) 150～190 ～ 0.6～0.8 ～ 次重型 120～150 ～ 0.4～0.6 ～ 中型、 中型、轻型 84～120 ～ 0.4
混凝土枕轨道D值
特重型、 特重型、重型 轨道类型及检算部件 钢轨
D/ (kN/cm)
的计算结果相差 ～10%，均可满足工程需要。 计算结果相差5～ 相差 ，均可满足工程需要。 ♦ 弹性点支承模型一般须采用以下方法求解： 弹性点支承模型一般须采用以下方法求解： ♦ ฀ (1)连续梁的三弯矩方程 连续梁的三弯矩方程 ♦ ฀ (2)差分方程（现解方程组方法很多） 差分方程（ 差分方程 现解方程组方法很多） ♦ ฀ (3)有限元方法 有限元方法 ♦ 由于点支承模型求解方法较繁，因此使用较 由于点支承模型求解方法较繁 因此使用较 方法较繁， 而连续弹性支承模型可求得解析解， 少，而连续弹性支承模型可求得解析解，计 算方法简单直观 方便实用， 直观， 算方法简单直观，方便实用，故使用较多 具体求解见后文） （具体求解见后文）。
第三章 轨道力学分析
本章要求： 本章要求： ♦ ฀ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨道 了解轨道结构力学分析的目的、 结构的受力特点； 结构的受力特点； ♦ ฀ 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 掌握轨道强度理论（ 理论及准静态计算方法） 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 算原理。 ♦ ฀ 了解列车脱轨条件； 了解列车脱轨条件； ♦ ฀ 了解轨道动力学的发展动态。 了解轨道动力学的发展动态。 ♦ ฀ 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础 重点：轨道强度理论（ 梁理论） 梁理论） ♦ ฀ 难点：轨道强度理论。 难点：轨道强度理论。
次重型及以下 钢轨 220 轨枕、 轨枕、道床及 基床 420
ຫໍສະໝຸດ Baidu
轨枕、 轨枕、道床 及基床 700 1200
混凝土枕、 混凝土枕、橡胶垫板 宽枕、 宽枕、橡胶垫板
300 500
注：对于检算钢轨或检算轨枕、道床及路基分别采用不同的最不利的D值。
钢轨位移、 第二节 钢轨位移、弯矩和枕上压力计算 机车车辆通过时，车轮依次通过， 机车车辆通过时，车轮依次通过，轨 道受轮群的作用。 道受轮群的作用。为了求解轮群作用下钢 轨的位移和弯矩， 轨的位移和弯矩，可先求出单个静轮载作 用下的解， 用下的解，再通过叠加原理求轮群作用下 的静力解， 的静力解，然后用速度系数和偏载系数修 正静力分析结果得到动力解。 正静力分析结果得到动力解。 这种利用静力计算结果乘以大于1的系 这种利用静力计算结果乘以大于 的系 数后得到动力计算结果的计算方法称为准 静态计算。其实质是静力计算， 静态计算。其实质是静力计算，而非真正 的动力计算。 的动力计算。
l Db = cb 2
♦ 扣件和轨下基础等效刚度相当于两根串联
弹簧。不难得到钢轨支座刚度为： 弹簧。不难得到钢轨支座刚度为：
DP Db D= DP + Db
一般轨道的扣件刚度远大于枕下基础等效刚 这时可近似的得到： 度，这时可近似的得到：
D = Db
3. 钢轨基础弹性模量 钢轨基础弹性模量u ♦ 采用连续基础梁模型时， 采用连续基础梁模型时，钢轨基础弹性模量 表示钢轨基础的弹性特征， 表示钢轨基础的弹性特征，定义为使单位长度的 钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力， 钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力， 量纲为力/长度 量纲为力 长度2。可由钢轨支座刚度除以轨枕间 得到： 距a得到： 得到
第一节 轨道结构竖向静力分析模型
一、计算模型 我国规范轨道竖向静力分析两种： 我国规范轨道竖向静力分析两种： 弹性点支承梁模型、 弹性点支承梁模型、弹性连续支承梁模型 1.点支承梁模型 点支承梁模型 点支承梁模型中钢轨是按轨枕間距支承于轨 枕上， 枕上，故称弹性点支承连续梁计算模型
P 钢轨
D
钢轨支点 弹性系数 a a
2．微分方程的解 ． ♦ 设方程的解为： 设方程的解为：
y＝Ae
；
rk
♦ A、r为待定常数。将此式代入微分方程中 、 为待定常数。 为待定常数
整理得： 整理得：
；
u r =− EI
4
；
♦ 由复变函数理论，此代数方程有四个根， 由复变函数理论，此代数方程有四个根，
分别为： 分别为：
24 u r1 = (1 + i ) 2 EI
轨道结构力学分析： 轨道结构力学分析： ♦ ฀ （1）（整体结构）应用力学的基本理论，结 ）（整体结构）应用力学的基本理论， ）（整体结构 合轮轨相互作用的原理， 合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不 同的运营条件下所发生的动态行为， 同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力 和变形分布； 和变形分布； ♦ ฀ （2）（部件）对主要部件进行强度核算，以 ）（部件 ）（部件）对主要部件进行强度核算， 便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态， 便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态，提高 轨道承载能力，最大限度地发挥既有轨道的潜能， 轨道承载能力，最大限度地发挥既有轨道的潜能， 提高效益。 提高效益。 ♦ ฀ （3）对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为 最佳匹配设计， ）对轨道结构参数进行最佳匹配设计 轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类 型及材料提供理论依据。 型及材料提供理论依据。 ♦ ฀ 因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改 因此，轨道结构力学分析是设计、 进轨道结构的理论基础。 导弹发射 提速、 导弹发射、 进轨道结构的理论基础。(导弹发射、提速、重载 等)