2021届高一数学上学期：3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性(第一课时) 教案

第三章 函数的概念与性质

3.2函数的基本性质

3.2.1单调性与最大（小）值

【素养目标】

1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象) 2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象) 3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析)

4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理)

5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析) 【学法解读】

1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．

2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．

3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．

第1课时 函数的单调性

必备知识·探新知 基础知识

知识点1：函数的单调性

思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替一般． 知识点2：

函数的单调性与单调区间

函数()y f x 在 上是单调递增或单调递减，则函数在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数的单调区间．

思考2：区间D 一定是函数的定义域吗？

提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念． 基础自测

1.函数()y f x =在区间(,)a b 上是减函数，12,(,)x x a b ∈，且12x x <，则有（ ） A ．12()()f x f x <

B ．22()()f x f x >

C ．12()()f x f x =

D ．以上都有可能 答案：B 解答：

因为函数()y f x =在(,)a b 上是减函数，且12x x <，所以22()()

f x f x >，故选B ．

2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．21y x =+ C ．y ＝1x

D ．2y x =-

[解析] 分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B ． 3．若定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等的实数,a b ，总有()()

0f a f b a b

->-成立，则

必有( )

A ．()f x 在R 上是增函数

B ．()f x 在R 上是减函数

C ．函数()f x 是先增后减

D ．函数()f x 是先减后增

[解析] 由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数,a b ，总有()()

0f a f b a b

->-成立，

则()f x 在R 上是增函数，故选A ．

4．已知函数()f x 是区间(0，＋∞)上的减函数，那么2(1)f a a -+与3()4

f 的大小关系为_________.

[解析] 221331()244

a a a -+=-+

≥， 又∵()f x 在区间(0，＋∞)上为减函数， ∴23(1)()4

f a a f -+≤．

关键能力·攻重难 题型探究

题型一 求函数的单调区间

例1如图为函数()y f x =，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．

[分析] (1)函数()f x 在D 上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？ [解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． [归纳提升] 函数单调区间的求法及表示方法

(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．

(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1

x 在(－∞，0)∪

(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．

(3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．

【对点练习】❶ 据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．

[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．

由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]． 题型二 用定义法证明函数的单调性 例2

利用单调性定义证明：函数()f x =

[分析] 由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明． [证明]

函数()f x =[1,)x ∈+∞， 设∀12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，

则21()()f x f x -=

=

因为12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，

0，210x x ->. 所以12()()f x f x <．

即函数()f x =

[归纳提升] 函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x 的取值必须是连续的，用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值——作差(或作商)——变形——定号——判断”．当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法．解决带根号的问题，常用的方法就是分子、分母有理化．从形式上看是由“－”变成“＋”．

【对点练习】❷ (1)用函数单调性定义证明：函数2()24f x x x =+在(,1]-∞-上是单调减函数；

(2)用函数单调性定义证明：函数21

x

y x =+在(1,)-+∞上为增函数． [证明] (1)设121x x <≤-，则

22121122()()(24)(24)f x f x x x x x -=+-+2212122()4()x x x x =-+- 12122()(2)x x x x =-++

∵121x x <≤-，

∴120x x -<，1220x x ++<， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， ∴()f x 在(,1]-∞-上是减函数．

(2)设121x x >>-，

则120x x ->，110x +>，210x +>，

1212122211x x y y x x -=

-++12122()

0(1)(1)

x x x x -=>++， ∴12y y >， ∴函数21

x

y x =

+在(1,)-+∞上为增函数． 题型三 单调性的应用