第三章 平面力偶系

22

180
FE E
D FD'
解: (1)取整个系统
M 0, M 0 FA AB cos 30 0

FA


M0 AB cos 30


40N m 0.32m 0.866

144N
FB FA 144N
(2)取CD杆
M 0, M 0 FC CD cos 0
FA
AM
D
解: 1）分析BD杆
C
450 E
M = 0, M1 - FE ·a = 0 FB = FE = M1 / a
M1
B FB FB B
D
E FE
M1
2）分析整体 FA = FB = M1 / a M = 0, M1 - M = 0 M = M1
27
作业：习题 P54 3—1
3—4 3—7
对同一点之矩的代数和。

n

M O (FR ) M O (Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有 od=ob+oc

又∵Mo (F1) 2oAB oAob


F2
FR
F1
M o (F2 ) 2oAC oA oc
M o (FR ) 2oAD oA od
三 力偶的三要素
力偶对物体的作用效应，
力偶矩的大小
取决于下列三因素： 力偶的转向
力偶的作用平面
代数量表示
13
小结：平面力偶性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
力偶只能与力偶平衡
力 力偶
性质2：力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与
矩心的位置无关。 力偶对物体的效应用力偶矩来度量
其中O点为力矩中心,简称矩心
O点到力 F 的作用线的垂直距离d，称为力臂
3
一 力对点之矩 力矩三要素：
大小 转向
代数量表示
作用面
力臂
O
d

2 表示：M O (F ) F d 2 AOAB
矩心
3 正负规定：
+-
A
F
B
4

说明：
①
M
O
(
F
)
是影响转动的独立因素
② MO (F ) = 2S⊿AOB = Fh
28
Байду номын сангаас 29 29
FC,FA之间的距离
d ab 2
力偶平衡的方程式为
FB B
M
M 0 FA .d M 0
C

FA

M d

2M ab
FC′

FA FB
2M ab
b
B
M C M a
FC C M
A FA
A FA 26
例3 ：已知：各构件自重不计，主动力偶M1为已知，求支座A、
B的约束 反力及主动力偶M。 (AC杆水平，AB连线铅垂)
MO FR
xi Fiy yi Fix
Fy
Fx
7


[例1] 已知：如图 F、Q、l, 求：M O (F ) 和 Mo(Q)
解：①应用力矩定义
MO
(F)

F

d

F

l
sin
Mo(Q) Ql
②应用合力矩定理
MO(F) Fx l Fy lctg
FNB可知由力偶概念可知FNA FNB
F’NA
Fy 0, FT W
24
课上练习3
B M C
l
已知：结构中AB为r的圆弧，l=2r，M已知。 求：A和C处的反力。
解：1）分析AB：
可知是二力构件，受力如图
A
F'B
FB
r
M
2）分析BC：受力如图
FA
M 0, M FBd 0
144N
FB FA 144N
(2)取CD杆
M 0, M 0 FC CD cos 0
cos
0.24
0.182 0.242
FC

5M 0 4 0.32m

5 40N m 4 0.32m
156N
FE FD FD FC 156N
C
Fx
D
M A (F ) Fd A 225N m M C (F ) Fd C
F AD F CD
sin 30 sin 30
B
75 N m
2）由合力矩定理 M B (F ) Fx AB Fy AD
求对B点的矩 F cos 30 AB F sin 30 AD
cos
0.24
0.182 0.242
FC
5M0 4 0.32m
5 40N m 4 0.32m

156N
FE FD FD FC 156N
23
课上练习2 FT
Ea
B
DC
b
W A
FT Ea
B
DC
b
FNB
W FNA A
F’NB
M 0,W a FNB b 0
r FC
d 2r (l r) cos 450 r( 2 2 ) 3 2 r 22
FB

M2 3r

FB

FA
25
例题 两个完全相同的矩形。求 FB A,B处的反力。（用最少个数的力）
解：对于整体而言，力偶是平衡 的，即A,B两处的力必为一对平衡 力，如图。
然后取矩形AC为研究对象
力偶对物体的转动效应只取决于力偶中力的大小和二力之间的垂 直距离（即力偶臂）,而与矩心位置无关。
以符号
M

F,
F
或 M 表示

即 M F, F F d 或 M F d 2 AABC
正负号表示力偶的转向：逆正顺负 +
-
在平面内，力偶矩是代数量。
12
力偶的图形表示：
1
第三章 力矩与平面力偶理论 §3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
2
§3-1 力对点之矩
力对物体的运动效应
(力的三要素)
移动效应—力矢 转动效应 ? 力对点之矩
O
d
A
F
B
一 力对点之矩 1 定义：力使物体绕某定点产生转动
效应的度量,简称力矩.
结论：平面力偶系的合成结果是一个力偶（称为合力偶）， 合力偶矩等于各已知力偶矩的代数和。
18
三 平面力偶系的平衡
平面力偶系的合成结果是一个合力偶，若平面力偶系平衡，则合力偶矩 必须等于零。反之，若合力偶矩等于零，则平面力偶系平衡。
Mi 0 （平面力偶系的平衡方程）
平面力偶系平衡的必要和充分条件是： 力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。
20
[例2] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件
的总切削力偶矩和A 、B端水平反力。
解:1 各力偶的合力偶矩

M m1m2 m3m4
FFAA
4(15)60Nm

FBB
2 平面力偶系平衡方程
一 平面力偶系：作用在同一平面的许多力偶 二 平面力偶系合成
=
=
M1 F1d1 F3 d M 2 F2 d2 F4 d
F F3 F4
合力偶矩 M Fd F3 F4 d F3d F4d
M1 M2
若n个力偶，则其合力偶矩 M M1 M 2 M n Mi
二 力矩的性质
1 力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置； 2 力矩不因力沿其作用线移动改变； 3 力矩为零：力F=0或力F过矩心； 4 互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零。 5 作用于物体上的力可以对物体内外任意点进行取矩计算。
5
三 合力矩定理 力矩性质之一
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于所有各分力
FB 0.2m1 m2 m3 m4 0
FA FB 300N
力偶只能与力偶平衡的性质，
力FA与力FB组成一力偶。
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180
FE E
D FD'
解: (1)取整个系统
M 0, M 0 FA AB cos 30 0

FA

M0 AB cos 30

40N m 0.32m 0.866
大小相等， 转向相同，
二 推论 1（只要保持力偶矩不变），力偶可以在其作用面内任意移
动，而不影响它对刚体的作用效应。
2 只要保持力偶矩不变，可以任意改变力偶中力的大小和 相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
15
=
=
=
=
16
F=3N d=6m
d=2m F=9N
M=18Nm
17
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
48.48N m
9
§3-2 力偶与力偶矩
一 力偶 1 实例：方向盘、水龙头、钥匙、丝锥
2 定义: 一对等值、反向、作用线相互平行的力
3 表示: F , F '
4 相关概念：
力偶作用面：力偶中的两力作用线所确定的平面 力偶臂：力偶中的两力作用线之间的距离d
10
力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。



M O1 F , F M O1 F M O1 F
F d x1 F x1
Fd
力矩：MO F
力偶矩：M (F, F) M
14
§3-3 力偶的等效
一 平面力偶等效定理
性质之一
作用在同一平面内的两个力偶，只要二者力偶矩 则该两个力偶等效。
19
[例1] 求图示简支梁的支座反力。
m 2 m1
A
l
m3
B
A
m
2
m1
m 3B
FA
FB
解：1 研究对象梁，受力如图 力偶只能与力偶平衡的性质，
2 列平衡方程求解
力FA与力FB组成一力偶。
M 0 FAl m1 m2 m3 0
解得： FA

m1
m2 l
m3

FB
方向看符号

F

Fy
Fx
Fsin l Fcos lctg F l

sin
Mo(Q) Ql
8
[例2] 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,
30 ，求：力F 对A、B、C三点之矩。
解：1） 由定义求对A、C点之矩
dA
A

dC F Fy



故M o (FR ) M o (F1 ) M o (F2 )证毕
6
力矩与合力矩的解析表达式



MO F MO Fy MO Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
MO FR MO Fi
（使物体产生转动效应）
往后说物体受力 力 力偶
研究力偶对物体的作用效应？如何度量？
11
二 力偶矩


MO F MO F Fx F x d
Fx Fx Fd
Fd Fd
力偶矩——在力学上以乘积F·d作为量度力偶对物体的转动效应的物理量。