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二次函数中考复习专题

教学目标：（1）了解二次函数的概念，掌握二次函数的图象和性质，能正确画出二次

函数的图象，并能根据图象探索函数的性质；

（2）能根据具体条件求出二次函数的解析式；运用函数的观点，分析、探究实际问题中的数量关系和变化规律。

教学重点

◆ 二次函数的三种解析式形式 ◆ 二次函数的图像与性质

教学难点

◆ 二次函数与其他函数共存问题

◆ 根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题

教学过程

一、 数学知识及要求层次

二次函数知识点

1、二次函数的解析式三种形式

一般式

y=ax 2 +bx+c(a ≠0)

顶点式

交点式 2、二次函数图像与性质 对称轴

顶点坐标

与y轴交点坐标（0，c）

增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

二次函数图像画法：

勾画草图关键点：○1开口方向；○2对称轴；○3顶点；○4与x轴交点；○5与y轴交点。图像平移步骤

（1）配方h,k）；

（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减。

二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称

根据图像判断a,b,c的符号

（1）a ——开口方向

（2）b ——对称轴与a 左同右异

3.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

4.二次函数的应用

如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等

【典型例题】

题型1 二次函数的概念

例1.）

A．（-1，8） B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）

例2.下列命题中正确的是

○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3

○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛

物线顶点。

○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。

○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。

○6若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。

○7若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。○8若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。

○9若b2＜3ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。

○10若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。

○11若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。

题型2 二次函数的性质

例3 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（）A．y1 y2 D.不确定

【举一反三】

变式1

变式2

变式3y轴对称，

题型3 二次函数的图像

例4 如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正

方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各

边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，

且0

数关系的大致图像时（）

24

y ax bx

=+-

12

1,2

x x

=-=

题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）

例5、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

例6 已知=次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ）

A ．2

B 3

C 、4

D 、5

题型5 二次函数的平移

例7.将抛物线2

2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A ．2

2(1)y x =+ B ．2

2(1)y x =- C ．2

21y x =+

D ．2

21y x =-

题型6 二次函数应用销售利润类问题

例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x 元（x 为10的正整数倍），每周销售量为y 件 。

⑴ 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

⑵ 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？

题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)

例9 已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(1

0)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． B ． C ． D ．

1

1

1

1

x

o y y o x y

o x

x

o

y