高等代数线性空间课堂笔记
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( + ) = ( + ) ∙ 1， (ℂ) = 1，1是基.
ℂ看成ℝ上的线性空间，
+ = ∙ 1 + ∙ ， (ℂ) = 1，1, 是一组基.
P看成P上的线性空间，均是唯一的.
例 4.求数域P上的线性空间P 2×2 的维数和一组基.
解：令E11 = .
*.() ∈ P,- ，则() = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −1 −1 + ⋯,
证：①显然1, , 2 , … , −1 是线性无关的；
②∀ () ∈ P,- , () = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −1 −1 , 0 , 1 , … , −1 ∈ ,
线性相关
α1 , α2 , … , α 线性无关
*. = ⇐ { 1 , 2 , … , 线性无关
向量组等价
(4)向量组α1 , α2 , … , α 线性无关，α1 , α2 , … , α , 线性相关，则可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
二、线性空间的维数、基与坐标：
第3页
高等代数
课堂笔记
第六章
1
2
α = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = (1 2 … ) ( ⋮ )
1
2
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = (1 2 … ) ( ).
⋮
3.线性空间的基与维数的确定：
定理 1 若线性空间中向量组α1 , α2 , … , α 满足：
1.维数：
定义 5 ①如果在线性空间中有n个线性无关的向量，但任意n + 1个向量线性相关，定义是一
个n维线性空间，记 (V) = .
②无限维线性空间；
③零空间维数为 0.
2.基与坐标：
定义 6 ①基：线性空间， (V) = ，n个线性无关的向量组1 , 2 , … , 称为的一组基；
②坐标：设1 , 2 , … , 称为的一组基，α ∈ V，
若α = 1 1 + 2 2 + ⋯ + ，1 , 2 , … , ∈ ，则数组1 , 2 , … , 就称为α在
基1 , 2 , … , 下的坐标，记为：(1 , 2 , … , ).
向量组等价：可以相互线性表出.
3.线性相关性：
(1) α1 , α2 , … , α ∈ ,存在一组不全为 0 的数1 , 2 , … , ∈ ，使1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0，
则称向量组α1 , α2 , … , α 线性相关；
(2)否则称向量组α1 , α2 , … , α 线性无关.
一般地，向量空间P = *(1 , 2 , … , )| ∈ , = 1,2, … , +是维的：
1 = (1,0, … ,0), 2 = (0,1, … ,0), … … , = (0,0, … ,1)就是P 的一组基，称为P 的坐标基.
例 2.(1)证明：线性空间P,- 是维空间，且1, , 2 , … , −1 是P,- 的一组基.
(1) α1 , α2 , … , α 线性无关；
(2)∀ ∈ , 可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
则称为n维线性空间，α1 , α2 , … , α 称的一组基.
证：只需验证∀n + 1个向量线性相关。如果1 , 2 , … , , +1 线性无关，又可由α1 , α2 , … , α 线性表
(2). ℝ中实数与C,,- 中函数满足类似于上面的四条性质.
第1页
高等代数
课堂笔记
第六章
上述四个补例共性：是它们都具有三个要素：
(1)有两个非空集合：一个是数域P，一个是抽象的集合V;
(2)有两种运算： VXV → V
(加法)
PV → V
(数乘)
(3)满足 8 条运算律.
一、线性空间的定义及简单性质：
③∃0 ∈ P , . . ∀ ∈ P 有 + 0 = 0 + = ;
④∀ ∈ P , ∃, . . + = + = 0，称为的负向量，记作：−.
(2). P中数与P 中向量的数乘，满足四条运算律：
①( + ) = + ;
1 =
5
4
1 = 1 + 2 + 3 + 4
所以1, , 2 , … , −1 是一组基，所以P,- 是维的.
()在基1, , 2 , … , −1 下的坐标(0 , 1 , … , −1 ).
(2)证明：1, ( − ), ( − )2 , … , ( − )−1 也是P,- 的一组基.
=1 E .
= 1,2, … ,
P268.Ex.7.(1)ξ = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 ，
(1,2,1,1) = 1 ∙ (1,1,1,1) + 2 ∙ (1,1, −1, −1) + 3 ∙ (1, −1,1, −1) + 4 ∙ (1, −1, −1,1)，
⊕ = ,
∀, ∈ V;
° = ,
∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ+ .
证：∀, ∈ ℝ+ , ∈ ℝ有° = , ⊕ = ∈ ℝ+ ，因此所定义的加法⊕、数乘°满足线性空间定义.
∀, ∈ ℝ+ , ⊕ = = = ⊕ ,
出，则n + 1 ≤ n，矛盾.
例 1.3 维几何空间：R3 = *(, , )|, , ∈ ℝ+，
则1 = (1,0,0), 2 = (0,1,0), 3 = (0,0,1)，α1 = (1,1,1), α2 = (1,1,0), α3 = (1,0,0)均为R3 的一组
基且等价.
定义：A ⊕ B = AB, ∀A, B ∈ V,
°A = A , ∀A ∈ V, ∈ ℝ.
解：因为矩阵乘法不满足交换律，因而A ⊕ B = AB ≠ AB = B ⊕ A,
据线性空间定义，V对于所定义的运算不构成ℝ上的线性空间.
习题：Ex.3/(5).(6)
三、常用线性空间：
P 为P上的线性空间；
补例 3
用P,-表示数域P上一元多项式的集合，在第一章中我们定义了两种运算：
(1). P,-中多项式加法，满足上述四条运算律;
(2). P中的数与P,-中矩阵的数乘，含四条性质.
补例 4
用C,,- 表示闭区间,, -上所有连续函数的集合，分析中我们定义了两种运算：
(1).C,,- 中函数加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
∙ : A → C.
*.
↦
映射分类：单射、满射、双射.
2011-03-07
§6.2 线性空间定义
补例 1
数域P上的n维列向量全体P ，在第三章中我们定义了两种运算：
(1). P 中向量的加法，满足运算律：
① + = + ;
② + + = ( + ) + = + ( + );
高等代数
课堂笔记
第六章
第六章 线性空间
§6.1 集合与映射
集合：用A, B, …表示，刻划。
映射：
S→ℝ
S→
S→S
运算：
函数
映射，∀ ∈ S, () = ∈ T.
变换
A ∪ B = {| ∈ A 或 ∈ B}
A ∩ B = {| ∈ Awk.baidu.com且 ∈ B}
: A → B,
: B → C,
定义 1 (P243 定义 1)
线性空间元素称为向量.
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
零元素是唯一的;
P244
负元素是唯一的;
P245
0 ∙ = , ∙ = , (−1) = −;
若 ∙ = ，则 = 0或 = .
P245
P245
二、用定义证明线性空间：
例 1.用ℝ+ 表示全体正实数的集合，证明ℝ+ 关于下面定义的加法与数乘运算构成ℝ的线性空间.
所以E11 , E12 , E21 , E22 是P 2×2 的一组基，所以 (P 2×2 ) = 4.
一般的，数域P上 × 的矩阵所成的线性空间P × 是维的，即 (P × ) = .
基：E ,
= 1,2, … ,
为P × 的一组基，∀A = ( ) = P × , A = ∑=1 ∑
由1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 ⇒ 1 = 2 = ⋯ = = 0.
4.常用的一些结论：
(1) α线性相关⟺ α = 0；
无关⟺ α ≠ 0.
(2) α1 , α2 , … , α 线性相关⟺ ∃α 可由其余向量线性表出；
(3) α
⏟1 , α2 , … , α 可由α1 , α2 , … , α 线性表示⇒ ≤
P × 为P上的线性空间；
P,-为P上的线性空间；(P244)
C,,- 为ℝ上的线性空间.
2011-03-10
第2页
高等代数
课堂笔记
第六章
§6.3 维数·基与坐标
线性空间 , ,
两种运算：加法、数乘
的元素运算
一、线性空间的向量之间的线性关系：
1.线性组合和线性表出：
(1)α1 , α2 , … , α ∈ , 1 , 2 , … , ∈ ，则1 1 + 2 2 + ⋯ + 称为向量组α1 , α2 , … , α 的线性
证：()的 Taylor 展开式：
() = () + ′ ()( − ) +
坐标.(), ′ (),
′′ ()
2!
,…,
′′ ()
2!
(−1) ()
(−1)!
( − )2 + ⋯ +
(−1) ()
(−1)!
( − )−1 ,
/.
例 3.将ℂ看成ℂ上的线性空间， (ℂ) =?，基=？
有1° = 1 = ,
( + )° = + = ∙ = (°) ⊕ (°),
°( ⊕ ) = °() = () = ∙ = (°) ⊕ (°),
综上，ℝ+ 关于所定义的加法和数乘，构成ℝ的线性空间
例 2.设V为实数域ℝ上所有 × 可逆矩阵的集合.
∀ ∈ ℝ+ , ( ⊕ ) ⊕ = () ⊕ = ,
∃ = 1 ∈ ℝ+ , ∀ ∈ ℝ+ , ⊕ 1 = ∙ 1 = ,
1
1
1
∀ ∈ ℝ+ , ∃的负元素 ,有 ⊕ = ∙ = 1,
∀, ∈ ℝ+ , , ∈ ℝ,
()° = = ( ) = ° = °(°),
组合；
(2) = 1 1 + 2 2 + ⋯ + ，称可由向量组α1 , α2 , … , α 线性表出.
2.向量组的线性：
向量组1 , 2 , … , ，可由向量组表出和等价：
可由向量组α1 , α2 , … , α 线性标出⇒ 向量组1 , 2 , … , ，可由向量组α1 , α2 , … , α 线性表出；
1
0
0
0
/ , E12 = .
0
0
1
0
/ , E21 = .
0
1
0
0
/ , E22 = .
0
0
第4页
0
/，则E11 , E12 , E21 , E22 线性无关，
1
高等代数
课堂笔记
11
∀A = .
12
11
2×2
22 / ∈ P ，则A = .21
21
第六章
12
22 / = 11 ∙ E11 + 12 ∙ E12 + 21 ∙ E21 + 22 ∙ E22 ，
②( + ) = + ;
③( ∙ ) = ∙ ( ∙ );
④1 ∙ = .
补例 2
用P × 表示数域P上所有 × 的矩阵集合，在第四章中我们定义了两种运算：
(1). P × 中矩阵加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
(2). P中数与P × 中矩阵的数乘，满足类似于上面的四条性质.
ℂ看成ℝ上的线性空间，
+ = ∙ 1 + ∙ ， (ℂ) = 1，1, 是一组基.
P看成P上的线性空间，均是唯一的.
例 4.求数域P上的线性空间P 2×2 的维数和一组基.
解：令E11 = .
*.() ∈ P,- ，则() = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −1 −1 + ⋯,
证：①显然1, , 2 , … , −1 是线性无关的；
②∀ () ∈ P,- , () = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −1 −1 , 0 , 1 , … , −1 ∈ ,
线性相关
α1 , α2 , … , α 线性无关
*. = ⇐ { 1 , 2 , … , 线性无关
向量组等价
(4)向量组α1 , α2 , … , α 线性无关，α1 , α2 , … , α , 线性相关，则可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
二、线性空间的维数、基与坐标：
第3页
高等代数
课堂笔记
第六章
1
2
α = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = (1 2 … ) ( ⋮ )
1
2
= 1 1 + 2 2 + ⋯ + = (1 2 … ) ( ).
⋮
3.线性空间的基与维数的确定：
定理 1 若线性空间中向量组α1 , α2 , … , α 满足：
1.维数：
定义 5 ①如果在线性空间中有n个线性无关的向量，但任意n + 1个向量线性相关，定义是一
个n维线性空间，记 (V) = .
②无限维线性空间；
③零空间维数为 0.
2.基与坐标：
定义 6 ①基：线性空间， (V) = ，n个线性无关的向量组1 , 2 , … , 称为的一组基；
②坐标：设1 , 2 , … , 称为的一组基，α ∈ V，
若α = 1 1 + 2 2 + ⋯ + ，1 , 2 , … , ∈ ，则数组1 , 2 , … , 就称为α在
基1 , 2 , … , 下的坐标，记为：(1 , 2 , … , ).
向量组等价：可以相互线性表出.
3.线性相关性：
(1) α1 , α2 , … , α ∈ ,存在一组不全为 0 的数1 , 2 , … , ∈ ，使1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0，
则称向量组α1 , α2 , … , α 线性相关；
(2)否则称向量组α1 , α2 , … , α 线性无关.
一般地，向量空间P = *(1 , 2 , … , )| ∈ , = 1,2, … , +是维的：
1 = (1,0, … ,0), 2 = (0,1, … ,0), … … , = (0,0, … ,1)就是P 的一组基，称为P 的坐标基.
例 2.(1)证明：线性空间P,- 是维空间，且1, , 2 , … , −1 是P,- 的一组基.
(1) α1 , α2 , … , α 线性无关；
(2)∀ ∈ , 可由α1 , α2 , … , α 线性表出.
则称为n维线性空间，α1 , α2 , … , α 称的一组基.
证：只需验证∀n + 1个向量线性相关。如果1 , 2 , … , , +1 线性无关，又可由α1 , α2 , … , α 线性表
(2). ℝ中实数与C,,- 中函数满足类似于上面的四条性质.
第1页
高等代数
课堂笔记
第六章
上述四个补例共性：是它们都具有三个要素：
(1)有两个非空集合：一个是数域P，一个是抽象的集合V;
(2)有两种运算： VXV → V
(加法)
PV → V
(数乘)
(3)满足 8 条运算律.
一、线性空间的定义及简单性质：
③∃0 ∈ P , . . ∀ ∈ P 有 + 0 = 0 + = ;
④∀ ∈ P , ∃, . . + = + = 0，称为的负向量，记作：−.
(2). P中数与P 中向量的数乘，满足四条运算律：
①( + ) = + ;
1 =
5
4
1 = 1 + 2 + 3 + 4
所以1, , 2 , … , −1 是一组基，所以P,- 是维的.
()在基1, , 2 , … , −1 下的坐标(0 , 1 , … , −1 ).
(2)证明：1, ( − ), ( − )2 , … , ( − )−1 也是P,- 的一组基.
=1 E .
= 1,2, … ,
P268.Ex.7.(1)ξ = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 ，
(1,2,1,1) = 1 ∙ (1,1,1,1) + 2 ∙ (1,1, −1, −1) + 3 ∙ (1, −1,1, −1) + 4 ∙ (1, −1, −1,1)，
⊕ = ,
∀, ∈ V;
° = ,
∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ+ .
证：∀, ∈ ℝ+ , ∈ ℝ有° = , ⊕ = ∈ ℝ+ ，因此所定义的加法⊕、数乘°满足线性空间定义.
∀, ∈ ℝ+ , ⊕ = = = ⊕ ,
出，则n + 1 ≤ n，矛盾.
例 1.3 维几何空间：R3 = *(, , )|, , ∈ ℝ+，
则1 = (1,0,0), 2 = (0,1,0), 3 = (0,0,1)，α1 = (1,1,1), α2 = (1,1,0), α3 = (1,0,0)均为R3 的一组
基且等价.
定义：A ⊕ B = AB, ∀A, B ∈ V,
°A = A , ∀A ∈ V, ∈ ℝ.
解：因为矩阵乘法不满足交换律，因而A ⊕ B = AB ≠ AB = B ⊕ A,
据线性空间定义，V对于所定义的运算不构成ℝ上的线性空间.
习题：Ex.3/(5).(6)
三、常用线性空间：
P 为P上的线性空间；
补例 3
用P,-表示数域P上一元多项式的集合，在第一章中我们定义了两种运算：
(1). P,-中多项式加法，满足上述四条运算律;
(2). P中的数与P,-中矩阵的数乘，含四条性质.
补例 4
用C,,- 表示闭区间,, -上所有连续函数的集合，分析中我们定义了两种运算：
(1).C,,- 中函数加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
∙ : A → C.
*.
↦
映射分类：单射、满射、双射.
2011-03-07
§6.2 线性空间定义
补例 1
数域P上的n维列向量全体P ，在第三章中我们定义了两种运算：
(1). P 中向量的加法，满足运算律：
① + = + ;
② + + = ( + ) + = + ( + );
高等代数
课堂笔记
第六章
第六章 线性空间
§6.1 集合与映射
集合：用A, B, …表示，刻划。
映射：
S→ℝ
S→
S→S
运算：
函数
映射，∀ ∈ S, () = ∈ T.
变换
A ∪ B = {| ∈ A 或 ∈ B}
A ∩ B = {| ∈ Awk.baidu.com且 ∈ B}
: A → B,
: B → C,
定义 1 (P243 定义 1)
线性空间元素称为向量.
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
零元素是唯一的;
P244
负元素是唯一的;
P245
0 ∙ = , ∙ = , (−1) = −;
若 ∙ = ，则 = 0或 = .
P245
P245
二、用定义证明线性空间：
例 1.用ℝ+ 表示全体正实数的集合，证明ℝ+ 关于下面定义的加法与数乘运算构成ℝ的线性空间.
所以E11 , E12 , E21 , E22 是P 2×2 的一组基，所以 (P 2×2 ) = 4.
一般的，数域P上 × 的矩阵所成的线性空间P × 是维的，即 (P × ) = .
基：E ,
= 1,2, … ,
为P × 的一组基，∀A = ( ) = P × , A = ∑=1 ∑
由1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 ⇒ 1 = 2 = ⋯ = = 0.
4.常用的一些结论：
(1) α线性相关⟺ α = 0；
无关⟺ α ≠ 0.
(2) α1 , α2 , … , α 线性相关⟺ ∃α 可由其余向量线性表出；
(3) α
⏟1 , α2 , … , α 可由α1 , α2 , … , α 线性表示⇒ ≤
P × 为P上的线性空间；
P,-为P上的线性空间；(P244)
C,,- 为ℝ上的线性空间.
2011-03-10
第2页
高等代数
课堂笔记
第六章
§6.3 维数·基与坐标
线性空间 , ,
两种运算：加法、数乘
的元素运算
一、线性空间的向量之间的线性关系：
1.线性组合和线性表出：
(1)α1 , α2 , … , α ∈ , 1 , 2 , … , ∈ ，则1 1 + 2 2 + ⋯ + 称为向量组α1 , α2 , … , α 的线性
证：()的 Taylor 展开式：
() = () + ′ ()( − ) +
坐标.(), ′ (),
′′ ()
2!
,…,
′′ ()
2!
(−1) ()
(−1)!
( − )2 + ⋯ +
(−1) ()
(−1)!
( − )−1 ,
/.
例 3.将ℂ看成ℂ上的线性空间， (ℂ) =?，基=？
有1° = 1 = ,
( + )° = + = ∙ = (°) ⊕ (°),
°( ⊕ ) = °() = () = ∙ = (°) ⊕ (°),
综上，ℝ+ 关于所定义的加法和数乘，构成ℝ的线性空间
例 2.设V为实数域ℝ上所有 × 可逆矩阵的集合.
∀ ∈ ℝ+ , ( ⊕ ) ⊕ = () ⊕ = ,
∃ = 1 ∈ ℝ+ , ∀ ∈ ℝ+ , ⊕ 1 = ∙ 1 = ,
1
1
1
∀ ∈ ℝ+ , ∃的负元素 ,有 ⊕ = ∙ = 1,
∀, ∈ ℝ+ , , ∈ ℝ,
()° = = ( ) = ° = °(°),
组合；
(2) = 1 1 + 2 2 + ⋯ + ，称可由向量组α1 , α2 , … , α 线性表出.
2.向量组的线性：
向量组1 , 2 , … , ，可由向量组表出和等价：
可由向量组α1 , α2 , … , α 线性标出⇒ 向量组1 , 2 , … , ，可由向量组α1 , α2 , … , α 线性表出；
1
0
0
0
/ , E12 = .
0
0
1
0
/ , E21 = .
0
1
0
0
/ , E22 = .
0
0
第4页
0
/，则E11 , E12 , E21 , E22 线性无关，
1
高等代数
课堂笔记
11
∀A = .
12
11
2×2
22 / ∈ P ，则A = .21
21
第六章
12
22 / = 11 ∙ E11 + 12 ∙ E12 + 21 ∙ E21 + 22 ∙ E22 ，
②( + ) = + ;
③( ∙ ) = ∙ ( ∙ );
④1 ∙ = .
补例 2
用P × 表示数域P上所有 × 的矩阵集合，在第四章中我们定义了两种运算：
(1). P × 中矩阵加法，满足类似于P 中向量加法的四条性质;
(2). P中数与P × 中矩阵的数乘，满足类似于上面的四条性质.