分析力学基础[动力学普遍方程-拉格朗日方程]

2. 欲求加速度和角加速度，研究整体（不去约束），加惯性力和惯性力
偶，给系统虚位移，应用动力学普遍方程可求。
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解：I. 求加速度和角加速度。
① 研究整体（不去约束，因后面要用
虚位移原理），加惯性力和惯性力
δϕ
偶，如图。其中惯性力和惯性力偶：
A M IC FIC
FIP
=
P g
a
=
P g
aC
M
IO
=
1 2
该质点上的力所作虚功：
标的广义
∑ ∑ δ Wi
=
r Fi
⋅δ
rri
=
r Fi
k
⋅(
h=1
∂rri ∂qh
δqh )
=
kr Fi
h=1
⋅
∂rri ∂qh
δqh
力 i = 1,2,L, n
整个质点系上所有（主 动）力所作虚功：
∑ Qh
=
n i =1
r Fi
⋅ ∂rri ∂qh
h = 1,2,L, k
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ΣδWF
④ 将(1)、(2)式代入方程(3)，解得：
aC
=
Q sinα − P
P + 2Q
g
从而 ε = aC = Q sinα − P g
r P + 2Q r
(3)
10
II. 求地面水平反力。 ① 研究整体，解除地面的水平约 束，代之以水平反力X；加惯性力和 惯性力偶，如图。
② 给系统虚位移，如图。 ③ 列动力学普遍方程：
7
动力学普遍方程的思想是： 对n个质点的质点系：
达朗贝尔原理
虚位移原理
动力学问题
形式上的平衡问题
动力学普遍方程
∑n r r (Fi + Ni ) ≠ 0
i =1
∑n r r r (Fi + Ni + FIi ) = 0
i =1
∑n
r (Fi
+
r FIi
)
⋅
δ
rri
=
0
i =1
∑n
r ( Fi
−
mari
−
W2 2
sinϕ2 )l2δϕ2
所以，对应ϕ2的广义力为
Q2
=
ΣδWF δϕ 2
= (P cosϕ2
−
W2 2
sin ϕ 2
)l2
r W1
δ rr2
δ rr3 r
Cr2
P
W2
(b)
§18-2 动力学普遍方程
回到动力学问题上来。
达朗贝尔原理 虚位移原理
动力学普遍方程
拉格朗日方程
拉格朗日是分析力学的创始人。 分析力学的基础
=0
h = 1,2,L, k
此时，k = 1。
选广义坐标 s ，写任意位置下系统的拉格朗日函数（L = T －V ），由
上式可写1个方程，其中所含待求量 &s& 即为所求。
13
解：设重物从静止上升s，选s为广义坐标。 在任意位置时系统动能：
T
=
1 2
P g
v2
+
1 2
1 2
Q g
r 2ω 2
+
1 2
Q g
r 2ε
FIC
=
Q g
aC
M IC
=
1 2
Q g
r 2ε
εC
aC
(1)
δ rC
αQ
ε
M IO
O
B
δϕ
Q a
δr
P
G
FIP
且 aC = rε
② 给系统虚位移，如图。其中虚位移的关系： δ r = δ rC = rδϕ (2) ③ 列动力学普遍方程： ΣδWF + ΣδWFI = 0
− (P + FIP ) ⋅δ r − M IO ⋅δϕ + (Q sinα − FIC ) ⋅δ rC − M IC ⋅δϕ = 0
Q1 =
ΣδWF δϕ1
=
⎢⎣⎡P
cosϕ1
−
(W1 2
+ W2
)
sin ϕ1⎥⎦⎤l1
6
②Σ再δW令Fδ=ϕ2m≠A (0W、r2 )δδϕϕ12＝+0m，A如(Pr图)δϕ(b2 )。 所有力在此虚位移上的虚功为：
=
−W2
l2 2
sin ϕ 2δϕ 2
+
Pl2δϕ2
cosϕ2
C1
=
(P cosϕ2
x2
=
l1
cosϕ1
+
l2 2
cosϕ2 ,
y3 = l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2
代入广义力公式（过程略，你可以再详细些），得
∑ Q1
=
3 i =1
⎜⎜⎝⎛
Xi
∂xi
∂ϕ1
+ Yi
∂yi
∂ϕ1
+
Zi
∂zi
∂ϕ1
⎟⎟⎠⎞
=
P⎢⎣⎡cosϕ1
− (W1 2
+ W2 ) sin ϕ1⎥⎦⎤l1
mO
r (W1
)δϕ1
+
r W2
⋅
δrr2
+
r P
⋅
δrr2
=
−W1
l1 2
sin
ϕ1δϕ1
−
W2δr2
sin
ϕ1
+
Pδr3
cos
ϕ1
=
⎢⎣⎡P
cosϕ1
−
(W1 2
+ W2 ) sin ϕ1⎥⎦⎤l1δϕ1
C1 δ rr1 δ rrA
r
W1
C2Байду номын сангаас
δ rr2
δ rr3 r
P
r
W2
(a)
所以，对应ϕ1的广义力为
=
n
δ Wi
i =1
=
n i =1
k
(
h=1
r Fi
⋅
∂rri ∂qh
δqh )
k
=
h=1
(
n i =1
r Fi
⋅
∂rri ∂qh
)δqh
=
k
Qhδqh
h=1
3
二、广义力的求法
1. 解析法——由各力及其作用点求
∑ Qh
=
n i =1
r Fi
⋅
∂rri ∂qh
用直角坐标表示：
h = 1,2,L, k
拉氏方程由动力学普遍方程导出，它秉承了动力学普遍方程不需考虑约 束力的优点。因而，对受完整约束的多自由度多刚体系统，比其它动力 学方法简单（特别是保守系统，毋需求广义力）。
一、拉格朗日方程
d dt
∂T ∂q&h
−
∂T ∂qh
= Qh
h = 1,2,L, k
(1)
二、保守系统中的拉格朗日方程
d dt
∂L ∂q&h
解动力学问题。其意义在于导出拉格朗日方程。
作业：选做18-5（试用动力学普遍方程求。注意为2自由度问题） 11
§18-3 拉格朗日方程（简介）
简称拉氏方程。拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程，即第一类拉格朗日 方程和第二类拉格朗日方程。第一类方程使用直角坐标及约束方程（用待 定乘子法），因而方程组中的方程很多；第二类方程使用广义坐标、广义 力及动能的概念，使方程组中的方程数大大减少（为广义坐标数或自由度 数）。一般（此处亦如此）的拉格朗日方程均指第二类方程。
用虚功方程解决过若干问题， Σδ WF = 0
问题：用虚功方程可解几个代数未知量？
y
δy
看例子——平面平衡自由刚体 几个自由度？
C
δ x δϕ
给刚体虚位移： δ x δ y 对应平动
Σδ WF
= ΣX
⋅δ
δϕ
x + ΣY
⋅δ
y
对应转动r + ΣmC (F )
⋅
δ
ϕ
=0
r
ΣX = 0, ΣY = 0, ΣmC (F ) = 0
P
g
14
事实上，拉格朗日方程最拿手的还不是上面1个自由度系统的 动力学问题，而是多自由度系统问题，如下例。
例4（书例18-3，2自由度系统，较难）
已知：均质圆柱质量为M，半径r，纯滚动；摆 长l，不计质量；小球视为集中质量，质量m。 试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。
vrO ϕ
分析：
为2自由度保守系统。用拉氏方程求解：
∑ Q2
=
3 i =1
⎜⎜⎝⎛
Xi
∂xi
∂ϕ 2
+ Yi
∂yi
∂ϕ 2
+
Zi
∂zi
∂ϕ 2
⎟⎟⎠⎞
=
(P cosϕ2
− W2 2
sin ϕ2 )l2
5
解2：（几何法）选ϕ1、ϕ2为广义坐标，对应虚位移为δϕ1、δϕ2。
① 先令δϕ1≠0、δϕ2＝0，如图（a）。
所有力在此虚位移上的虚功为
ΣδWF
=
4
例1 （书上例17-10）
计算双摆的广义力，已知摆长各为l1、l2，
重量各为W1、W2，力P。（2自由度）
C1
解1：（解析法）建立坐标系如图。选ϕ1、
ϕ2为广义坐标。
各力在坐标轴上的投影为
r W1
C2
r
P
r
X1 = W1, X 2 = W2 , Y3 = P
W2
各力作用点坐标为
x1
=
l1 2
cosϕ1,
(3)
即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。
注：①上式中Σ不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；
②当质点系静止时（静平衡），ΣδWFI = 0 ，退化为虚功方程：
ΣδWF = 0
8
解题步骤： (一)研究整体（若求反力，需先去其约束，画上约束力）； (二)画主动力，并加惯性力（偶），画运动图；给系统虚位移； (三)列解方程。
ΣδWF + ΣδWFI = 0
X ⋅δ r + FIC ⋅δ r = 0
ε
M IO
O
B
δr
A M IC FIC
ε C δr
aC
αQ
Q a
δr
P δr
G
FIP
X
④ 将(1) 式代入上式，解得：
X = − Q(Q sinα − P) cosα
P + 2Q
注：由于使用动力学普遍方程较麻烦，通常不用其直接求
2g
d dt
∂L ∂s&
−
∂L ∂s
=
0
其中 则
即
d dt
∂L ∂s&
=
d dt
P + 2Q g
s&
=
P + 2Q &s& g
P + 2Q &s& − (−P + Q sinα ) = 0
g
aC
=
Q sinα − P
P + 2Q
g
∂L = −P + Q sinα
∂s
&s&
=
Q
sinα −
P + 2Q
d dt
∂L ∂q& h
− ∂L ∂qh
=0
h = 1,2,L, k
此时，k = 2。
先选广义坐标，再写任意位置下系统的拉格朗
日函数，由上式可写2个方程，即为所求。
解：
vrAO
A
vrO
研究整个系统，选滚子转角ϕ（注：为方便，设为如图方向）、摆转角θ
为广义坐标。为写系统任意位置时的动能，需先进行速度分析。
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OA作平面运动。选O为基点，A为动点，则 vrA = vrO + vrAO 其中， vO = rϕ&, vAO = lθ&
易知
v
2 A
=
(rϕ&
+
lθ& cosθ )2
+
)
⋅δ
rri
=0
i =1
∑n
r (Fi
+
r Ni
+
r FIi
)
⋅δ
rri
=0
i =1
∑ 理想约束：
n
r Ni
⋅δ rri
=
0
i =1
(1)
n
或
∑[( X i − m&x&i )δ xi + (Yi − m&y&i )δ yi + (Zi − m&z&i )δ zi ] = 0 (2)
i =1
或
ΣδWF + ΣδWFI = 0
−
∂L ∂qh
=0
h = 1,2,L, k
(2)
其中L = T －V 称为拉格朗日函数或动势。
注1：拉格朗日方程提供了k个（系统自由度数）（广义坐标的）微分方程。
注2：通常用拉格朗日方程建立系统的动力学方程（特别是振动系统的振动微分
方程），或求加速度，而不用其求速度。
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解题步骤： (一)研究整体（一般不去约束），选广义坐标； (二)画主动力，并分析速度；求拉格朗日函数或广义力； (三)列解方程。
一、广义力的概念
§18-1 广义力
质点系任一质点坐标可用广义坐标 qh ( h = 1,2,…,k) 表示：
rri = rri (q1, q2 ,L, qk )
i = 1,2,L, n
求变分，得用广义坐标 变分表示的虚位移：
∑ δ
rri
=
k h=1
∂rri ∂qh
δqh
i = 1,2,L, n
对应第 h 个广义坐
例2（补充，由例12-1改，求反力）
图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半径
均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定不
A
动，倾角为α，重量为G，重物重量P。试
C
用动力学普遍方程求地面给三角块的水平
反力。
分析：此题已经由动量定理、质心运动
αQ
定理和达朗贝尔原理分别求解过。
OB Q
P
G
1. 欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力，需解除其水平约束，研究 整体，给各运动物体加惯性力和惯性力偶，但有关加速度和角加速度 未知；
∑ Qh
=
n
(Xi
i =1
∂xi ∂qh
+ Yi
∂yi ∂qh
+ Zi
∂zi ) ∂qh
h = 1,2,L, k
2. 几何法——由虚功求
k
∑ 质点系虚功： Σδ WF = Qhδqh h=1
若只给定第h个广义坐标的虚位移，其余广义坐标的虚位移为0，则
Σδ WF = Qhδqh
Qh
=
Σδ WF δqh
对单个自由刚体，该组方程等同于平衡方程；对非自由质点系， 该组方程不同于平衡方程（见后面例1）。
注2：
①对应每一个广义坐标，有一个广义力； ②广义力是代数量而非矢量； ③广义力不作用在某个物体上，故也无法画出。 在以下（拉格朗日方程）的讲解中，会用到广义力的概念，故下面首 先介绍广义力。
2
第18章 动力学普遍方程 拉格朗日方程
例3（补充，例12-1）
图示系统。均质滚子A、滑轮B重量和半
径均为Q和r，滚子纯滚动，三角块固定
s
不动，倾角为α，重物重量P。试用拉格
朗日方程求滚子质心加速度。
Aε
ω
C
分析：
系统为1个自由度保守系统，故用
vC aC
保守系统拉格朗日方程求解：
αQ
ωε
OB
Q va
P
s
d dt
∂L ∂q& h
−
∂L ∂qh
x O
即，一个变分方程可对 应几个独立的代数方程： 独立代数方程数 ＝ 广
δ x δ y δ ϕ ——广义坐标的变分
义坐标数
r
ΣX , ΣY , ΣmC (F ) ——虚功表达式中广义坐标的
变分的系数，称为广义力Qi
可见，虚功方程等价于 Qi = 0 (i = 1, 2, ... , k)
1
注1：
Q g
vC2
+
1 2
1 2
Q g
r 2ω 2
s
ω
= P + 2Q v2 = P + 2Q s&2
2g
2g
Aε C
设系统起始位置为0势能位置，系统 势能为：
vC aC
αQ
V = Ps − Q ⋅ s sinα
ωε
OB
Q va
P
s
则拉格朗日函数： 拉格朗日方程：
L = T − V = P + 2Q s&2 − Ps + Qs sinα