1-5因式分解定理

高等代数II 第一章多项式

第5节. 因式分解定理

教学大纲

一．素因子的个数

小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。

其实，正整数的因子分解都是世界难题。多项式就更不可能容易。

先别去碰难题。还有些入门的小儿科都没有搞清楚。

比如, 1不能分解,为什么不是质数?

学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?

-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×2

2x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？

还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。你分到不知道怎么分就结束了。为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。

因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：

不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.

例1.1是质数还是合数?

学生: 1不能分解, 是质数.

老师: 1既不是合数, 也不是质数.

学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?

老师: 它就是1.

点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？

1 和

2 都不能分解，它们有什么区别？

例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？

(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。

解. (1) 24=2×2×2×3，4个素因子。

(2)24×2×1×2×1, 24含4个素因子, 乘2乘3各增加一个素因子变成6个.

乘1不变, 素因子不增加, 仍是6个.

(3)24÷2÷3, 24含4个素因子,除以2,3能够整除,各减少一个素因子变成2个.

除以1不变, 素因子不减少, 仍是6个.

(4)23×32，3个素因子乘2个素因子，共5个素因子。

(5)210÷210, 10个素因子除以10个素因子，减少10个,变成0个素因子.

因此规定210÷210 =210-10=20=1

点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减.

乘1不增加, 除以1不减少, 说明1是0个素因子。

素数幂p n自己除以自己等于1，素因子个数n-n=0, 说明p0=1,

也说明1是0个素因子。

结论. 1个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数.

0个素因子的乘积是1．这种分类言之成理了.

如果将1也规定为素因子, 2=2×1×1×…×1×1 的分解就永远分不完了。

2. 整数的分解：

整数包括正整数、0、负整数. 0不能作因子，只考虑正负整数.

例3.如下整数是几个素因子的乘积.

(1)-1; (2)1; (3) -2; (4) 6; (5) -6.

解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1是不是素因子？

如果是, 它也是3个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。

(2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。1是2个-1 的乘积，也是2020个-1 的乘积.

既然1是0个素因子个数为0， -1 的素因子个数就是0÷2 = 0÷2020 = 0。(3)-2=(-1)×2的素因子个数= 0+1=1。素因子个数为1的, 自己就应该是素数。但是-2=(-1)×2可以分解，能够称为素数吗？

2=2×1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？

如果说前一种分解2×1的因子是2自己和1，不算是分解。

后一种分解的因子-2,-1既不是2自己也不是1，算不算分解？

如果也算分解，每个素数p=(-p)(-1) 都可以分解为既非p也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。p=(-p)(-1)2k+1的因子个数2k+2 可以任意大。

就永远分不完了。

由此可见，整数p因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1, 也不应该是1的因子-1. 不应该是p自己, 也不应该是p的-1倍-p。-1应该看成与1同样都是0个素因子。p的-1倍(-1)p 应该看成与p是同一个素因子, 同样都是素数。虽然它们不相等，但是可以把它身上的倍数-1随时拿走或添上，（拿走.可以乘另外一个素因子，添上可以在另外一个素因子也添一个, 不改变乘积，也不改变素因子个数。）不能说(-1)p与p相等，但称它们相伴。

(4)6=2×3=(-2)(-3) 两种分解都正确，素因子都是2个。

(5)-6=(-2)3=2(-3), 2个素因子。

3. 数域上多项式的分解：

可逆元. 与整数的分解同理，1的因子是每个多项式的因子, 可以无穷地往外提取，不能算是一个独立的因子，只能算是“0个素因子”，不能充当因式分解的因式。因式分解f(x)=g(x)h(x) 的每一个因式都不能是1的因子，这样的分解才算是真正的分解。

哪些多项式g(x) 是1的因子，满足1= q(x)g(x) ? 多项式q(x), g(x) 乘积g(x)h(x)=1 的次数等于q(x),g(x) 次数之和. 但1的次数等于零, 多项式次数不能为负, 因此1的因子q(x), g(x) 的次数都是0，都是非零常数。g(x)=c 0 是非零常数，它的逆c-1=1/c 也就是c的倒数，也是非零常数，也是多项式。因此我们称c是多项式集合中的可逆元。如果g(x)次数至少是1，含有字母x, 它的逆g(x)-1=1/g(x) 就是分式而不是多项式，这样的g(x) 就不是多项式集合的可逆元，而是分式集合的可逆元。分式集合的可逆元很多, 除了0以外的分式都是可逆元。有理数集合也是除了0以外都是可逆元，所以称有理数集合Q是数域。分式集合也是域，但其中大量的元素不是数，因此不是数域，而称为分式域。

正整数集合只有1才是可逆元。因子分解只要两个因子都不是1，就是真正的分解, 只有a=a×1不算是分解,算是没有分解。整数集合Z有两个可逆元1,-1, a=a×1=(-a)(-1) 都算是没有分解。

多项式集合P[x] 中所有的非零常数c 都是可逆元, c-1都是多项式，就有无穷多个可逆元。从多项式f(x)提取可逆元作为因子得到的分解

f(x)= c(c-1f(x))

都不算是分解，而算是没有分解。如2x+4=2(x+2), 2x+3=2(x+1.5)都不算分解。但如果不在有理系数多项式集合内而在整系数多项式集合内分解，也只有1,-1是可逆元，2不是可逆元，2x+4=2(x+2) 就是真分解。2x+3就不能分解了。