2020届高三化学二轮复习——数列求和及数列的简单应用(大题)

2020届高三化学二轮复习——数列求和及数列的简单应用(大题)

热点一 等差、等比数列基本量的计算

解决有关等差数列、等比数列的问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.

例1 已知正项数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 3n 是公差为2的等差数列，且a 1,9，a 2成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{a n }的前n 项和S n .

解 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 3n 是公差为2的等差数列， 所以a 232－a 13

＝2， 所以a 2＝3a 1＋18，

又a 1，9，a 2成等比数列，

所以a 1a 2＝a 1(3a 1＋18)＝92，

解得a 1＝3或a 1＝－9，

又因为数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 3n 为正项数列， 所以a 1＝3，

所以a n 3n ＝33

＋2(n －1)＝2n －1， 故a n ＝(2n －1)·3n .

(2)由(1)得S n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，

所以3S n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1，

所以S n －3S n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，

即－2S n ＝3＋2×32－3n ×31－3

－(2n －1)·3n ＋1 ＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，

故S n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.

跟踪演练1 (2019·乐山调研)已知等差数列{a n }中，a 2＝5，a 1，a 4，a 13成等比数列.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{a n }的前n 项和S n .

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，

则a 1＝5－d ，a 4＝5＋2d ，a 13＝5＋11d ，

因为a 1，a 4，a 13成等比数列，

所以(5＋2d )2＝(5－d )(5＋11d )，

化简得d 2＝2d ，则d ＝0或d ＝2，

当d ＝0时，a n ＝5.

当d ＝2时，a 1＝5－d ＝3，

a n ＝3＋(n －1)×2 ＝2n ＋1(n ∈N *).

所以，当d ＝0时，a n ＝5(n ∈N *)；

当d ＝2时，a n ＝2n ＋1(n ∈N *).

(2)由(1)知，当a n ＝5时，S n ＝5n .

当a n ＝2n ＋1时，a 1＝3，则S n ＝n (3＋2n ＋1)2

＝n 2＋2n (n ∈N *). 热点二 数列的证明问题

判断数列是否为等差或等比数列的策略

(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；

(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.

例2 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.

(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；

(2)求数列{S n }的前n 项和T n .

(1)证明 原式可转化为

S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，

即S n ＝2S n －1－n ＋4，

所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2].

由S 1－2a 1＝1－4，

得S 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，

所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列.

(2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，

所以S n ＝2n ＋1＋n －2，

所以T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n

＝4(1－2n )1－2

＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82

. 跟踪演练2 (2019·桂林、崇左联考)已知数列{a n }中，满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).

(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；

(2)求数列{a n }的前n 项和S n .

(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，

∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).

又因为a 1＋1＝2，

∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)解 由(1)知a n ＋1＝2n ，

∴a n ＝2n －1，

∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)

＝(21＋22＋…＋2n )－n

＝2×(1－2n )1－2

－n

＝2n ＋1－n －2.

故S n ＝2n ＋1－n －2.

热点三 数列的求和问题

1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消.常见的裂项方式有：

1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝

⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. 2.如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式. 例3 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝⎝⎛

⎭⎫a n ＋122(n ∈N *).数列{b n }的前n 项和

为T n ，且满足T n ＝2－b n (n ∈N *).

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 2的前n 项和S n ′. 解 (1)由S n ＝⎝

⎛⎭⎪⎫a n ＋122，得S 1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋122＝a 1， 解得a 1＝1. 由S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2＝⎝

⎛⎭

⎪⎫a 2＋122， 解得a 2＝3或a 2＝－1. 若a 2＝－1，则d ＝－2，所以a 3＝－3.

所以S 3＝－3≠⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 3＋122＝1， 故a 2＝－1不合题意，舍去.故a 2＝3，

所以等差数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2，

故a n ＝2n －1.

数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2－b n .

当n ＝1时，b 1＝T 1＝2－b 1，解得b 1＝1；