中考数学网格作图题的命题立意及解答策略

中考网格作图题的命题立意及解答策略

本文对2019年全国各地中考网格作图问题进行梳理，提炼其命题意图，并归纳网格作图问题的解题策略，以期与同行交流探讨。

一、技能立意，计算作答

在格点画图中，以画图技能立意的试题通常都比较基础，考查的知识点比较单一，以格点画图为主要考查目标.

例1 (2019年哈尔滨中考题)图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上.

(1)在图1中画出以AC 为底边的等腰Rt ABC ∆，点B 在小正方形顶点上;

(2)在图2中画出以AC 为腰的等腰ACD ∆，点D 在小正方形的顶点上，且ACD ∆的面积为8.

分析第(1)问，要确定格点B 的位置，从“形”的角度出发，点B 是AC 的垂直平分线

和以AC 为直径的圆的交点.从“数”的角度出发，先由勾股定理，可以算出AC =，

以AC 为底的等腰直角三角形的腰长AB CB ==，从而可以确定点B 的位置(如图3). 第(2)问，“画出AC 为腰的等腰ACD ∆”，既要考虑AC AD =的情况，又要考虑CA CD =的情况，再根据条件“ACD ∆的面积为8”确定点D 的位置(如图4).

例2 (2019年长春中考题)图5、图6、图7均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点,,,,,A B C D E F 均在格点上。在图5、图6、图7中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.

(1)在图5中以线段AB 为边画一个ABM ∆，使其面积为6;

(2)在图6中以线段CD 为边画一个CDN ∆，使其面积为6;

(3)在图7中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒.

分析 第(1)问，已知3AB =，要使ABM ∆面积为6，只要以AB 为底，高为4即可，则M 是直线d 上任意一格点，如图8(答案不唯一).

第(2)问，CD 竖向距离为3，可视为以水平方向为底，竖直方向为高的三角形的一边，高为3，当底为4时，面积就为6，如图9(答案不唯一).

第(3)问，我们知道边长为3的正方形的面积为9，但EF 不是网格上的边，我们可用割补法来得到我们想要的图形，如图10所示，FGI FEJ S S ∆∆=，则9EFGH JFIH S S ==四边形四边形. 解题策略 在网格中作图，最基本、最常规的问题就是利用正方形网格的边长为1，运用勾股定理计算格点线段的长度，或是利用网格线平行或垂直的基本特征画平行线和垂线.本类型常见的问题跟图形的周长、面积联系比较多，遇到这类问题的时候，要先算出周长、

面积，然后利用割补，平移、旋转等手段来解决.

二、思维立意，分析推理

很多格点作图问题，考查的结果是画图，实际上是以格点为依托，把考查逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力融合在一起二

例3 (2019年嘉兴中考题)在66 的方格纸中，点,,A B C 都在格点上，按要求画.

(1)在图11中找一个格点D ，使以点,,,A B C D 为顶点的四边形是平行四边形;

(2)在图12中仅用无刻度的直尺，把线段AB 三等分(保留画图痕迹，不写画法).

分析 第(1)问，当考虑以BC 为对角线构造平行四边形时，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，找到AB 的平行线CM ，AC 的平行线BN ，交点即为点D .或者根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，找到格点D .(如图13，答案不唯一)

第(2)问，显然在AB 上不能直接找到三等分点.但我们可以另外找到一条三个单位长度的格点线段BD ，点,E F 为BD 的三等分格点.根据“平行线分线段成比例”，只要过点,E F 分别作出AD 的平行线，就能把线段AB 三等分了。在这里，我们也能认为是构造了“A ”型相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”达到了三等分线段AB 的目的(如图14，方法不唯一).

也可以构造“X ”型相似三角形等(如图15，16).

解题策略 网格背景下的作图题，由于网格自身的位置及数量的特殊性，能使图形的一般几何性质，得以特殊化和数量化.网格作图，给了学生多角度探究问题的方法.构图时可以选用网格中的特殊格点，构造一些特殊四边形、三角形，借助图形的性质解决问题.

三、素养立意，创新思维

格点作图问题的命制，往往把考查学生的数学素养放在突出重要的位置，试题要求学生有较强的构图能力和创造思维能力.

例4 (2019年武汉中考题)如图17、18是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD 的顶点在格点上，点E 是边DC 与网格线的交点.请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由.

(1)如图17，过点A 画线段AF ，使//AF DC ，且AF DC =.

(2)如图17，在边AB 上画一点G ，使AGD BGC ∠=∠.

(3)如图18，过点E 画线段EM ，使//EM AB ，且EM AB =.

分析 第(1)问，实际上是要构造一个平行四边形AFCD .根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，在BC 上取格点F ，满足1CF AD ==即可.

第(2)问，根据“轴对称的性质”，作点C 关于 AB 的对称点H ，连结DH 交AB 于点G ，则有AGD BGC ∠=∠(如图19).

第(3)问，找到格点,R S ，满足////DR CS AB ，且3DR CS AB ===.此时//CD RS ，RS 与网格横线交于点M ，满足//EM AB ，且3EM AB ==(如图20).

解题策略 很多时候，网格只是赋予了题目一个载体，真正考查的还是学生的一种基本数学素养.例4的解决过程，从知识层面上，主要考查了平行四边形的性质和判定、轴对称的性质、对顶角的性质等;从技能层面，主要考查了学生的作图能力等;从基本思想方法看，主要考查了数形结合思想、几何直观和空间观念、转化思想等.总之，知识储备、方法积累、思维积淀、创新意识是解决问题的关键.

总之，网格作图题是灵活多变、丰富多彩的，数学中很多问题都能借助网格来呈现.网格自身具有的几何特征和数量特征，为学生发现解决问题的路径提供了多角度探究的空间，不仅能提高学生的识图和作图能力，还能多维度地培养学生分析推理能力、计算能力、几何直观能力、综合运用知识解决问题的能力.