圆锥曲线几何性质精华
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圆锥曲线的几何性质
省仪陇新政校区 登昆
一、椭圆的几何性质(以22a x +22
b
y =1(a ﹥b ﹥0)为例)
1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明:由椭圆的定义
12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪
⇒+++=⎬+=⎪⎭
即2
4ABF C
a =
2、焦点⊿PF 1F 2中: (1)S ⊿PF1F2=2
tan
2θ
•b
(2)(S ⊿PF1F2)max = bc
(3)当P 在短轴上时,∠F 1PF 2最大 证明:(1)在
12AF F 中
∵ 22
2
1212
4cos 2PF PF c PF PF θ+-=
⋅
∴ ()
2
1212
122cos 2PF PF PF PF PF PF θ⋅=+-⋅-∴ 21221cos b PF PF θ
⋅=+
∴ 12
22112sin cos tan 21cos 2
PF F b S b θθθθ-=⨯⋅=⋅+ (2)S ⊿PF1F2 max =
max 1
22
c h bc ⨯⨯= (3) ()()()
2
2
2
2
2222
1200222222212000
4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+ 当0x =0时 cos θ有最小值222
2a c a
- 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线,垂足为M ,
则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2
证明:延长1F M 交2F P 于F ,连接OM
x
x
由已知有 1PF FP = M 为1F F 中点 ∴ 212OM FF =
=()121
2
PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2
2
2
x y a +=
4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2+y 2=a 2
切
证明:取1PF 的中点M ,连接OM 。令圆M 的直径1PF ,半径为r
∵ OM =
(
)211111
2222
PF a PF a PF a r =-=
-=- ∴ 圆M 与圆O 切
∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x 2
+y 2
=a 2
切
5、任一焦点⊿PF 1F 2的切圆圆心为I ,连结PI 延长交长轴于R 则 ∣IR ∣:∣IP ∣=e
证明:证明:连接12,F I F I 由三角形角角平分线性质有 ∵
1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a
+=====+ ∴
IR
PI
= e 6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。 证明:令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。 ∵
()21221222AF ed AF BF e d d BF ed =⎫
⇒+=+⇒⎬=⎭
()()12121
22
AB R e d d R e d d ==+⇒=+
∵ ()121
2
d d d =+
∵ 01e ∴ R d
∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离 7、A 为椭圆一定点,P 在椭圆上,则: (∣PA ∣+∣PF 2∣)max =2a+∣AF 1∣ (∣PA ∣+∣PF 2∣)min =2a-∣AF 1∣ 证明:连接11,,AP AF PF
∵ ()
21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-x
x
x
x
∵ 111AF AP PF AF -≤-≤
∴ 12122a AF AP PF a AF -≤+≤+
∴ (∣PA ∣+∣PF 2∣)max =2a+∣AF 1∣ (∣PA ∣+∣PF 2∣)min =2a-∣AF 1∣
8、A 为椭圆一定点,P 是椭圆上的动点,则 (∣PA ∣+
e
PF 2)min = A 到右准线的距离
证明:设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有
PF PF
e d d e
=⇒= ∴(∣PA ∣+
e
PF 2)min =()
min
PA d
+ = A
9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x=±a 上。 证明:令
☉I 与⊿PF
1F 2
三边所在的直线相切于M 、N 、A
∵ PM PN =
22F N F A =
∴
111221PF PN F M F F F N F A
+=+=
∵ 1
1FM F A = ∴ 1122PF PN F F F N +=+ ∵ 22F N F A =
∴ 121222PF PN F N F F F N F A ++=++ ∵ 22F N F A = ∴ 2222a c F A =+
∴ 2a c F A =+ 即为椭圆顶点。 ∴ 焦点⊿PF 1F 2
的旁心在直线 x=±a 上
10、P 是椭圆上任意一点,PF 2的延长线交右准线于E ,K 上另一任意点,连结PK 交椭圆于Q ,则KF 2平分∠EF 2Q
x
x E