(隐函数组)_(数学分析)

( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
和
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
x f f x f
dz dx
Fy
Fy
Fx
Fz
x f 1
( f x f ) Fy x f Fx Fy x f Fz
( Fy x f Fz 0)
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例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
系数行列式 J
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
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②
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注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
v 1 x y J u
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例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 .
由于 所以
r
r u 1 y x J v v 1y r x J u
x r 1 y 1 r cos cos x J r x2 y2
第二节 隐函数
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
解法2 微分法.
z x f ( x y), F ( x, y, z ) 0
对各方程两边分别求微分:
化简得
x f d y
F2 d y
dz 消去 d y 可得 . dx
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv
Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略. v Fu Fy 1 1 ( F , G ) 仅推导偏导 y J ( u , y ) Fu Fv G G y u 数公式如下： Gu Gv
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式
Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
G( x, y, u, v) y y (u, v) 0
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则有
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得 x u x v 1 u x v x y u y v 0 u x v x
思考与练习
设
求
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提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 x f 2 y z x y • x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z x x • 0 f1 1 f 2 y z x z y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
d z f1 dx d y dz f 2 y z dx xz d y x y d z
解出 dx :
f1 x z f 2 d y 1 f1 x y f 2 dz dx f1 y z f 2
③J
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
u
x y z
解得
因此
e x ( x z) z 1 sin( x z ) du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 dx x sin( x z )
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x x
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2. 设
是由方程 所确定的函数 , 求
(99考研)
v 1 x y J u
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注意 J 0, 从方程组②解得
x 1 v u 1 1y , x J 0 y J v v
x 1 1y v 1 u J u x J y 0 u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1x , y J v
x x , . 由d y, d z 的系数即可得 y z
第六节 目录
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备用题 1. 设
又函数
有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :
x z sin t
e
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
x y 2 , e 0
x
dt ,
(2001考研)
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u u v v , , , . 例4. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J