4.4 向量的夹角与长度
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4.4 向量的夹角与长度
例1.已知.2,120,4||,2||垂直与使向量值求的夹角为与b a b ka k b a b a +-== 例2.已知ABCD 是平行四边形,求证:|).|||(|2|||2222+=+
例3.已知非零和量.,274;573的值求垂直与垂直与且向量的夹角为与θθb a b a b a b a b a ---+ 例4.已知,1)()(,2||,,=+⋅-=b a b a a b a 且满足是非零向量
(1)求22)()(++-
(2)若.,3θ的夹角与求b a b a -=⋅ 【备用题】 如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补. 【基础训练】
1.已知的值为则的夹角为与b a b a b a ⋅==,3
,6||,31||π
( )
A .2
B .±2
C .1
D .±1 2.等式①00=⋅a ②00=⋅a ③||||||b a b a =⋅ ④22||a a =其中正确的个数为
( )
A .0
B .1
C .2
D .3
3.下列命题①||||||=⋅ ②22||a a = ③)()(⋅⋅=⋅⋅ ④)()()(⋅=⋅λλλ其中正确
命题的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.在ΔABC 中,=⋅===CA BC c b a 则 30,4,3__________________. 5.已知方向上的投影长为在则的夹角为与b a b a a ,60,4|| =________________.
6.已知y x i 与则轴上的单位向量且分别是,34,125,,+=-=夹角的余弦值为___________. 【拓展练习】
1.已知=+⋅-=-=)(),3,2()4,3(则
( ) A .-13 B .7
C .6
D .26 2.已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-==
( )
A .6π
B .3
π
C .2π
D .π32
3.已知||)sin ,(cos ),sin ,(cos PQ Q P 则ββαα的最大值为 ( ) A .2
B .2
C .4
D .22 4.λ和实数已知向量b a ,,下列等式中错误的是
( )
A .=||
B .||||||b a b a =⋅
C .b a b a ⋅=⋅λλ)(
D .||||||b a b a ≤⋅ 5.已知e a e a a 与则向量方向的投影为在单位向量向量,3,2||-=的夹角为
( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150°
6.若等于则||,743,374AB j i OB j i OA -=+-=_____________. 7.向量)3,3(),1,3(-==的夹角是_____________.
8.已知b a b a 在则),2,0(),3,1(=-=方向上的投影是_____________.
9.已知=⋅+⋅+⋅=++===则且,,32||,3||,3||________________. 10ABCD 是菱形的充要条件是对角线.⊥
11.已知.||),5
7
,51(,1||||--=+==求
12.设在四边形ABCD 中,,,,,,⋅=⋅=⋅=⋅====且问该四边形
ABCD 是什么图形.
13.在向量c b a ,,之间,该等式. ⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅⋅⋅=++)
23(:3:1)(:)(:)(0
c b a 成立,当,1||,1||时求时==a a
求||||c a 和的值.
14.若,,中每两个向量的夹角均为60°,且||,2||,6||,4||++===求的值.