高中数学 定积分求值问题-(原卷版)

与 x 轴围成封闭图形的面积为
.
13． 【 2017 届河北省定州中学高三上学期周练 9.25 数学试卷，理 17】设 f x 连续，且 f x = x 2 1 f (t)dt , 0
求 f (x) .
14. 【2013-2014 学年安徽省广德中学高二下学期期中考试数学试卷，理 20】已知二次函数 f（x）＝ax2＋ bx＋c，直线 l1：x＝2，直线 l2：y＝－t2＋8t（其中 0≤t≤2，t 为常数），若直线 l1，l2 与函数 f（x）的 图象以及 l1、l2、y 轴与函数 f（x）的图象所围成的封闭图形（阴影部分）如图所示． （1）求 a、b、c 的值； （2）求阴影面积 S 关于 t 的函数 S（t）的解析式．
【变式演练
6】设
f
(x)
lg x x
a 3t 2dt
0
x0 若 f ( f (1)) 1 ，则 a
x0
．
【变式演练 7】如图，阴影部分的面积是（ ）
A． 2 3
[来源:Zxxk.Com]
B． 5 3
C． 32 3
D． 35 3
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；
π
C．
2 π
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
2
D． π sin2 xdx 0 π
【变式演练 2】若 S1
2 1
x2dx, S2
2 1
1 x
dx,
S3
2 1
exdx,
则
S1S2 S3
的大小关系为（
）
A． S1 S2 S3 B． S2 S1 S3
C． S2 S3 S1 D． S3 S2 S1
Q2 作 x 轴 的 垂 线 交 曲 线 C 于 点 P2 (x2 , y2 ) ，
， 以 此 类 推 ， 过 点 Pn 的 切 线 ln 与 x 轴 相 交 于 点
Qn1(xn1, 0) ，再过点 Qn1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 Pn1(xn1, yn1) （ n N * ）．
(1) 求 x1 、x2 及数列{xn} 的通项公式；(2) 设曲线 C 与切线 ln 及直线 Pn1Qn1 所围成的图形面积为 Sn ，求
第二步 作出直线计算函数 x a, x b, y 0 所围成的图形；
第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
1
例 2 计算定积分
4 x2 dx .
0
[来源:学科网]
【变式演练 8】设
f
(
x)
1 x2 , x [1,1)
x2 1, x 1, 2
，则
2
f (x)dx 的值为（
1
）
A． + 4 23
所围成的图形的面积为__________．
2．【
2015-2016
学年吉林省松原油田高中高二下期末数学卷，理
8】已知
f
(
x)
x2 10
1 x
x 1
0
，则
1 f xdx 的值为（ ） 1
A． 3 2
B． 2 3
C． Biblioteka Baidu4 3
D． 4 3
3 ．【 2015-2016 学 年 山 东 省 曲 阜 师 大 附 中 高 二 下 4 月 月 考 理 数 学 试 卷 ， 理 10 】 定 义
D (x，y) | 0≤x≤1， 0≤y≤1 ，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由
曲线 y x 与 y x2 所围成阴影区域内的概率是（ ）
A. 1 6
C. 1 2
B. 1 3
D. 2 3
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
6．【 2017 届河北衡水中学高三上学期一调考试数学试卷，理 7】由曲线 y x ，直线 y x 2 及 y 轴所
min a, b
a, a b, a
b，设f b
x
min
x
2
,
1 x
，则由函数
f
x 的图象与
x 轴、直线
x
2
所围成的封闭
图形的面积为（ ）
A． 7 12
B． 5 12
C． 1 ln 2 3
D． 1 ln 2 6
4．【 2016 届湖南师大附中高三上学期月考六数学试卷，理 12】对于区间 a,b 上的函数 f x ，若存在
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度 考查相对较小，重 点考查定积分的几何意义 、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如 三角函数、立体 几何、解析几何等.
【方法点评】 类型一 利用微积分基本定理求定积分
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数 f (x) 的定义域 并求出函数 f (x) 的导函数 f ' (x) ；
(1)函数 f (x) x3 3x 在区间[2, 2] 上的平均值点为；
(2)如果函数
在区间[1,1]上有两个“平均值点”，则实数 m 的取值范围是.
【变式演练 14】已知函数 f (x) ln x (x 0) ,函数 g(x) 1 af (x)(x 0) f (x)
（1）当 x 0 时,求函数 y g(x) 的表达式; （2）若 a 0 ,函数 y g(x) 在 (0, ) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; （3）在（2）的条件下,求直线 y 2 x 7 与函数 y g(x) 的图象所围成图形的面积.
x0
a,b ，使得
f
x0
b
a
f
x dx
成立，则称
x0
为函数
f
x 在区间a,b 上的一个“积分点”．那么
函数
f
x
cos
2
x
6
在区间
0,
2
上的“积分点”为（
）
A． 6
B． 4
C． 3
D． 5 12
5 ．【 2015-2016 学 年 湖 南 五 市 十 校 教 改 共 同 体 高 二 下 期 末 数 学 试 卷 ， 理 8 】 如 图 ， 设 区 域
B． 3 2
C． 4 43
D． 3 4
【变式演练 9】定积分 3 9 x2 dx 的值为（ ） 0
A． 9
B． 3
【变式演练 10】
1
(
1 x2 x x3 )dx ______.
0
C． 9 4
D． 9 2
【变式演练 11】已知 a 0 ， ( a x)6 展开式的常数项为 15，则 a (x2 x 4 x2 )dx ___________
围成的图形的面积为（ ）
A． 10 3
B． 4
C． 16 3
D． 6
7．【 2017 届河南新乡一中高三 9 月月考数学试卷，理 8】定积分 0 | sin x cos x | dx 的值是（ ）
A． 2 2
B． 2 2
C．2
D． 2 2
8．【 2015-2016 学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学试卷，理 14】
x
a
【变式演练 12】已知数列 an
2
为等差数列，且 a2013 a2015 0
4 x2 dx ，则 a2014 a2012 2a2014 a2016 的
值为（ ）
A．
B． 2
C． 2
D． 4 2
类型三 导数与定积分的综合应用 例 3 如图所示，抛物线 y 1 x2 与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一 块矩形地块 ABCD 作为工业用地，其中 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为 3a 元 (a 0) ，其它的三个边角地块每单位面积价值 a 元.
.
3.【2015 高考陕西，理 16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线
型（图中虚线表示），则原始的最 大流量与当前最大流量的比值为
．
【反馈练习】
1. 【2015-2016 学年山东省济南一中高二下期末数学试卷，理 13】由曲线 y x ，直线 y x 2 及 y 轴
36
【变式演练 15】如下图，过曲线 C ：y ex 上一点 P0 (0,1) 作曲线 C 的切线 l0 交 x 轴于点 Q1(x1, 0) ，又过 Q1
作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P1(x1, y1) ，然后再过 P1(x1, y1) 作曲线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 Q2 (x2 , 0) ，又过
Sn 的表达式；
(3)
在满足(2)的条件下,
若数列 {S n }
的前
n
项和为
Tn
，求证：
Tn1 Tn
xn1 xn
(n N * ) .
【高考再现】
1. 【2015 高考湖南，理 11】 02(x 1)dx
.
2．【2015 高考天津，理 11】曲线 y x2 与直线 y x 所围成的封闭 图形的面积为
第二步 求方程 f ' (x) 0 的根；
第三步 判断 f ' (x) 在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步 利用结论写出极值.
例 1 sin xdx 的值为（ ） 0
A． 2
B．
C．1 D．2
【变式演练 1】下列计算错误的是
（）
A．
π
sin xdx 0
π
B． 1 xdx 2
0
3
π
【变式演练 3】
2 1
1 x
1 x2
1 x3
dx （
）
A． ln 2 7 8
B． ln 2 7 2
C． ln 2 5 8
D． ln 2 17 8
【变式演练 4】若 a (2x 1)dx 3 ln 2(a 1) ，则 a 的值是___________．
1
x
【变式演练 5】 2 (sinx 1)dx _____________． 2
2
1
cos
x
dx
．
2
11．【 2015-2016 学年天津静海县一中五校高二下期末数学试卷，理 13】曲线 y x2 1与直线 x 2, y 0
所围成的区域的面积为
.
x 1 x 0
12．【
2016 届天津市耀华中学高三一模考试数学试卷，理 16】若函数
f
x
cos
x
0
x
2
，则
f
x
（1）求等待开垦土地的面积； （2）如何确定点 C 的位置，才能使得整块土地总价值最大.
[来源:Zxxk.Com]
b
f (x)dx
【变式演练 13】给定可导函数 y f (x) ，如果存在 x0 [a,b] ，使得 f (x0 )
a
ba
成立，则称 x0 为
函数 f (x) 在区间[a,b] 上的“平均值点”.
1
1- x2 dx
sin xdx
0
0
9. 【 2016 届 天 津 市 和 平 区 高 三 第 四 次 模 拟 数 学 试 卷 ， 理 14 】 设 函 数 f x ax2 1 ， 若
1 0
f
x dx
f
x0 , x0 0,1 ，则 x0 的值为______．
10．【
2016 届湖南省高考冲刺卷（三）数学卷，理 13】