考点16 立体几何中的平行于垂直问题(解析版)

考点16 立体几何中的平行于垂直问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、(2018南京三模）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：

①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；

③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．

其中真命题为_______（填所有真命题的序号）．

【答案】①③

【解析】①考查定理：垂直同一直线的两个平面平行；②直线l可能在平面β内；③正确；④不一定垂直；

2、(2017南京、盐城二模）已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；

③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.

【答案】①④

【解析】思路分析逐一判断每个命题的真假．

①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才能保证m⊥β，错误；④由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，正确．

3、(2016南京三模）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；

③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.

其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号

．．．．．．．．．．．)．

【答案】①④

【解析】①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；

②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；

③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；

④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α.

4、(2016镇江期末）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：

①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；

③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.

其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)

【答案】④

【解析】①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．

5、(2015镇江期末）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.

其中正确命题的序号为________．

【答案】④

【解析】对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n也可能异面，故③错误．

6、(2015南京、盐城、徐州二模）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；

②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

其中是真命题的是________(填序号)．

【答案】③④

【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故①不正确；因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故②不正确．同理，我们以正方体的模型来观察，可得③④正确．

7、(2015泰州期末）若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；

②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；

③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；

④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

【答案】②④

【解析】对于①，若两个平面互相垂直，显然在平面β内存在与直线m平行的直线，故①不正确；对于②，m⊥α，m一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线，故②正确；③与④是对立的，一定有一个是真命题，对于④，若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在，若m与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B(异于A)，过B点向平面β引垂线，垂足为C，则直线BC⊥平面β，在平面β内作直线l垂直于AC，可以证明l⊥平面ABC，则l⊥m，故④正确，③不正确．所以真命题的序号为②④.

【问题探究，变式训练】

题型一直线与平面的平行于垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线。

例1、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

规范解答(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分) 因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)

(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.

因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，

所以BB1⊥平面ABC.(12分)

因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)

【变式1】(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.