函数模型及其应用

函数模型及其应用

一、构建函数模型的基本步骤：

1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；

2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即

所谓的数学模型；

3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；

4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。

二、常见函数模型：

1、一次函数模型；

2、二次函数模型；

3、分段函数模型；

4、指数函数模型；

5、对数函数模型；

6、对勾函数模型；

7、分式函数模型。

题型1：一次函数模型

因一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象是一条直线，因而该模型又称为直线模型，当0

k >时，函数值的增长特点是直线上升；当0k <时，函数值则是直线下降。

例1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。现销售给A 地10台，B 地8台。已知从甲地到A 地、B 地的运费分别是400元和800元，从乙地到

A 地、

B 地的运费分别是300元和500元，

（1）设从乙地运x 台至A 地，求总运费y 关于x 的函数解析式；

（2）若总运费不超过9000元，共有几种调运方案；

（3）求出总运费最低的方案和最低运费。

题型2：二次函数模型

二次函数2

=++（0

y ax bx c

a≠）为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。例2：渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)

k k>。

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。

例3：某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

练习：某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成

下表：

该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。

题型3：分式函数模型

求得的函数解析式中，分母含有自变量时，此类函数称为分式函数模型，由于分式函数的特征不是很明显，因而在过程中要注意转化。

例4：某地区上年度电价为0.8元/kW h⋅，年用电量为akW h⋅，本年度计划将电价降到0.55元/kW h⋅至0.75元/kW h⋅之间，而用户期望电价为0.4元/kW h⋅经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本为0.3元/kW h⋅。

（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（2）设0.2

=，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长

k a

20%（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））

练习：某地上年度电价为0.8元，年用量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元—0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与)4.0

x元

(-

成反比例，又当65

.0

x元时，.8.0

=

y

=

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每度电的成本价为0.3，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量⨯(实际电价－成本价)]

题型4：分段函数模型

在不同的背景前提下，两个变量之间的关系不一样时，需要我们针对自变量的范围进行分类，求得各种不同情况下的两个变量之间的关系即为分段函数，分段函数易

将数学问题最优化。

例5：某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.8元；当用水超过4吨时，超过部分每吨3元。某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x和3x。

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，请分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。

练习：1、“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1000元部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为=

x

x,全

月总收入－1000元，税率见下表：

（1）若应纳税额为)(x f ，试用分段函数表示1—3级纳税额)(x f 的计算公式. （2）某人2000年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所

得税多少元？

2、某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t （单位：百件）时，销售所得的收入约为22

15t t -（万元）.

（1）若该公司的年产量为x （单位：百件）)0(>x 时，试把该公司生产并销售这种产

品所得的年利润表示为当年产量x 的函数.

（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？

题型5：指数函数模型

形如x y ka =（0a >且1a ≠，k R ∈且0k ≠）的函数模型称为指数函数模型，当1a >时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，我们常称为“指数

爆炸”。

例6：某电器公司生产A 型电脑，2006年这种电脑每台平均生产成本为5000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2007年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2010年，尽管A 型电脑出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益。

（1）求2010年每台A 型电脑的生产成本；

（2）以2006年的生产成本为基数，求2006-2010年生产成本平均每年降低的百分

数（精确到0.01 2.236= 2.449=）