年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一.选择题

1.如果集合.A B 同时满足{}1.

2.

3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”

。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。

２.设函数()()

lg 101x f x -=+,()()

122x x f f --=方程的解为( )

()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101

A B C D --++3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺

序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角ABC V 中, 90

C ∠=o

,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1

AD a BD b CD a b ===-=.

设

数

列

{}

k u 的

通

项

为

()1221,1,2,3,,k

k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则( )

5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列

{}

n a ,易见

123451,3,7,9,13a a a a a =====L

那么

2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597

6.

设

A B ==L L 则():A B =

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n

为使得n

n a =取实数值的最小正整数,则对应此n

的n a 为

9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.

10.平行六面体

1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为

2,3,4,且两两夹角都为60o

那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()

()()()()()()12,,f

x f x f x f f x ==L

()()()()()()()()()()()()()()()()

()

1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…

设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()

()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩

的解为_________________

12.设平行四边形ABCD

中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线

AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三．解答题

13.已知椭圆2

2

412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重

合).

1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.

2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14. 数列

{}

n x 由下式确定: 112

,1,2,3,,121

n

n n x x n x x +=

==+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)

15. 设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足

,ayz bzx cxy

p x y z

++=其中p 为给定的正实数,试求()()()2

2

2

s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当

s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.

2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案

一、 选择题

. . . . . 第1题解答过程

逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .

元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .

所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.

第2题解答过程 令)110

lg(+=-x

y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，

)110lg(--=y x .从而)110lg()(1

--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为

)()(1

t f

t f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，

1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 2

1

2=

=t x . 从而 1)2(lg log )2lg 2

1

(log 22-==x . 答：A.

第3解答过程

注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, 500102101100++++≡Λ2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1）

又因为1103-≡，

n

n

)1(103-≡（mod7）,所以i

i i A 34000

10)500(⨯-=∑=i

i i ）（1)500(4000

-⨯-≡∑=

100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6300≡=（mod7）.

(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.

另解：632126⨯=，99999963，

1109999996

-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以49950010497498101031041010110210

1006118811941200

+⨯++⨯+⨯+⨯=ΛA

60060300999999+=B 60360999999+=C ，

其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的

余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程

易见BD AD CD ⋅=2，即

ab b a =-2

）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为a

b

q -=的等比

数列的前1+k 项和.故b

a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1

11)(1)1(， Λ3,2,1=k .

即 b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111

)()(])()([1

1212++++----++=k k k k b b a a b

a

233])([1

+++=--+=

k k k u b a b

a ， Λ3,2,1=k .