数量积 向量积

设
a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则 ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k
i
j
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
b Pr ja b a b a Pr ja

M1
s
M2
为a 与b 的
(b在a上的投影)
类似地
( b 0)

性质
(1) a a
(2) a , b为两个非零向量, 则有 a b 0
运算律

(1)交换律 (2)结合律
a
b
a ( b) ( a ) ( b ) ( a b )
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
数量积 向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
引例
设O为杠杆L 的支点, 有一个与杠杆夹角为
的力F
作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力矩为:
M OQ F OP F sin
F
Leabharlann Baidu
M OP
F
M F
o
M
P
O
P
Q

L
M 的方向符合右手规则
M

O
a

b
性质
(1) a a 0 (2) a , b 为非零向量, a b 0
运算律
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律
(3) 结合律
(a b)c ac bc ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表示式
例2 已知三点 M (1,1,1) ,
求 AMB .
A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , A
例3 设均匀流速为 的流体流过一个面积为A的 平面域 ,且 与该平面域的单位垂直向量 的夹角为 求单位时间内流过该平面域的 流体的质量P(流体密度为).
M
B

A
数量积 向量积
(3)分配律 例1 证明三角形余弦定理
(a b)
c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
c 2 a 2 b 2 2ab cos
数量积的坐标表示
设
a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
第二讲 数量积 向量积
数量积 向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
数量积 向量积
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
引例 设一物体在常力F作用下, 沿与力夹角为 位移为s, 则力F所做的功为 的直线移动,
W F s cos
定义 设向量 a , b 的夹角为 , 称 数量积 (点积),记作a b 注
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
当 为非零向量时,
a b cos
a x bx a y by a z bz
2 2 ax a2 a y z 2 2 2 bx by bz
cos
a b

两向量夹角公式
OQ OP sin
定义 定义 设 a , b 的夹角为 ， 向量 c 方向: 模:
c a , c b 且符合右手规则 c a b sin
b
a c ab
称 c 为向量 a 与 b 的 向量积,记作 c a b (叉积) 注 力矩 思考: 右图三角形面积 S＝
i j ax a y k az
bx
b y bz
向量积的行列式计算法
例4 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三角形ABC的面积
B
例5
设刚体以等角速度绕l轴旋转, 导出 刚体上一点M的线速度 的表示式 .
A


a
l
C