离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案

第二章作业

评分要求：

1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)

3. 总得分在采分点1处正确设置.

一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):

说明

证

1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)

解逻辑方程法

设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:

⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0

)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩

⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式.

等值演算法

(p ∧q)∨(p ∧¬q)

⇔ p ∧(q ∨¬q)

∧对∨的分配率

⇔ p ∧1 排中律

⇔ p 同一律

真值表法

2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r)

等值演算法

(p→q)∧(p→r)

⇔(¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式

⇔¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律

⇔p→(q∧r)蕴含等值式

3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)

等值演算法

¬(p↔q)

⇔¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式

⇔¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式

⇔¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律

⇔(p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律

4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q)

等值演算法

(p∧¬q)∨(¬p∧q)

⇔(p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律

说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式.

等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得.

二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次):

1.

2.

3.

4.

1. (¬p→q)→(¬q∨p)

解

(¬p→q)→(¬q∨p)

⇔(p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式

⇔(¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律

⇔(¬p∧¬q)∨¬q ∨p结合律

⇔p∨¬q吸收律, 交换律

⇔M1

因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m3

2. (¬p→q)∧(q∧r)

解逻辑方程法

设(¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且q∧r=1,

解得q=1, r=1, p=0 或者q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6

等值演算法

(¬p→q)∧(q∧r)

⇔ (p∨q)∧(q∧r) 蕴含等值式

⇔ (p∧q∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 幂等律

⇔ (p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r) 同一律, 矛盾律, ∧对∨分配律

⇔m7∨ m3

主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6

3. (p↔q)→r

解逻辑方程法

设(p↔q)→r =0, 解得p=q=1, r=0 或者p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

等值演算法

(p↔q)→r

⇔ ((p→q)∧(q→p))→r 等价等值式

⇔⌝((p→q)∧(q→p))∨r 蕴含等值式

⇔ (p∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)

⇔ (p∨q∨r)∧(⌝q∨⌝p∨r) ∨对∧分配律, 矛盾律, 同一律

⇔M0∧ M6

主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7

4. (p→q)∧(q→r)

解

等值演算法

(p→q)∧(q→r)

⇔ (⌝p∨q)∧(⌝q∨r) 蕴含等值式

⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 矛盾律, 同一律

⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)

⇔m1∨ m0∨ m3∨ m7

主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.

解逻辑方程法

设(p → q) ∧ (q → r) = 1, 则p → q =1 且q → r =1.

前者解得: p=0, q=0; 或者p=0, q=1; 或者p=1, q=1.

后者解得: q=0, r=0; 或者q=0, r=1; 或者q=1, r=1.

综上可得成真赋值为000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.

真值表法

公式(p → q) ∧ (q

从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.