第五章阵列信号的高分辨处理

缺点：稳健性差
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仿真结果：来波方向为 30 ,34 , 40
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§ 5.3子空间高分辨处理与波束形 成方法比较
1. 波束扫描法 常规波束形成方法：^ arg max S aH Ra

最优波束形成方法：（LCMV法）
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Music方法步骤：
1) 2)
由阵列数据
x ti
估计相关矩阵
^
R

对 R作特征分解。
1 M
M
x ti xH ti
i 1
3)
用
P个大特征值对应的特征矢量构成
S
P N
或用
NP
个小特征值对应的特征矢量构成
N NP N
4)
用搜索矢量
a


向
N
N N
a 1 e

j 2 d N 1sin T
e


1 Z
Z N 1 T
j 2 d sin
其中 Z e
范德蒙矩阵：

1 x1
1 x2
M

x12
x22

x1N 1
xN 1 2
1
xN

xN2


xNN 1
是满秩的充要条件为 xi x j ,当i j。
N
N
N N

P
的建立
已知：N元阵列接收的一批数据 xti
由 xt A st N t 计算相关矩阵
i 1,2, , M
R

E

x
t

xH
t


1 M
M
x ti xH ti
i 1

A

Rs
AH




2 n
I
假定
E
N
t

N
H
t
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已知 a
1
和a
2
，则只要 e j
2 d
sin1
ej
2
d
sin2
，则 a
1
和 a2 线性无关。即当
d
2
，sin1 sin2时，a 1
和 a2 线性无关，
当
信号
子空
间已
知
（
S
P N
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信号模型分析：
1. 比相法（干涉法）
窄带条件下：N元阵 xt S1 ta1 单信源
仅需两元阵： xx12
t t

S1
t

e
j
1
2 d
sin

E x1
t
x2*
t


s2e
最优权：

minW H RW W
S.t W H a 1
W opt R1a
用W opt进行波束扫描，比较各方向的输出功率，以
判断DOA 。这时 的极值必须对所有角度取同一
标准。
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取


aH


1
R1a

，则
反证：假设， i , i 1 ~ P
即 a , a1, , aP 线性相关（P＋1个导向
矢量）。
而当 P 1 N 时，a , a1, , aP 应线性独
立。矛盾。
1
P P N 1
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2.
S
或 P
1 i
vi
viH
1


2 n

I


P i 1
vi viH


1

2 n
I

P i 1
i


2 n
i
vi viH

当 SNR ,
i


2 n
i 1~ P
R1

1

2 n

I

P i 1
vi viH


1

2 n
线性空间中的P维子空间，记为
S
P。
N
S
P N
的正交补空间称为噪声子空间，记为
N
N N

P

N
N N

P
只是数学上的定义，并非物理上的噪声。
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分析：
信号子空间：spana 1 , a 2 , , a P
对于等距线阵（ULA）

j 2 d sin
2 s1
0
0

2 2



2 P

0


AH



p

2 si
a
i
aH
i


2 sp

i 1
∴有P个非零特征值 1 2 p 0
另有N P 个零特征值，N 个特征矢量
v1, v2 , , v p , v p1, , vN
非零
N－P个零特征值
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证明：N维矢量 a 向
S
P上投影。
N
“ ”：显然 ∵ a spana1,a2 , ,aP
“

”：记向
S
P N
（或
N
N N

P）投影矩阵为
P（s 或
Pn
）
Ps a a 则 a spana1,a2 , ,aP
1 2 N N1 M
而不满足 1 2 N N1 M 2
2.
由于
U
sU
s

U
nU
n

I
，表明利用噪声子空间进行信
号参数估计与利用信号子空间进行估计是一致
的。
3. 当 a( ) 属于信号子空间时，a ()Uˆn 0，此时空 间谱会在信号源方向出现“谱峰”。
j 2 d
sin
在不模糊的情况下( 2 d sin 2 )， 可以测定。

在保证不模糊的情况下，天线离越远越好。d ,
精度提高，这是因为
3dB

0.886 L cos0
(rad )
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2. 波束扫描 波束形成： yt W H xt
）
，进
行方
向
估计
方法
：
用
a

为搜
索
矢量，
向
S
P N
上做投影，或向
N NP N
做
投影。
定理：a 在
N
N N

P
上投影矢量
长度
等于零
的充
要
条件为 1, 2,
,
P ,
,或
a 在
S
P上投影矢
N
量就是自己本身的充要条件为 1, 2, , P,
下面给出简单证明
Music算法实质是基于一维搜索的噪声子空间算法
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基于解相干的Music算法：
Music算法在理想条件下具有良好的性能，但在信号源相 干时算法变得很坏。
极端地，当信号完全相干时，阵列接收数据的协方差矩阵 的秩降为1，显然这会导致信号子空间的维数小于信号源数， 也就是说信号子空间“扩散”到噪声子空间，这会导致某些相 干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，从而无法正确估计 信号源方向。 此时，核心问题就是解相干或去相干，主要方法有：

P作投影
Pn
a



N iP1
vi
viH

a


5)
计算谱峰：S
1
Pn a

N

1
aH vi 2
谱峰与信号强度无关，只反映i
P 1
a
与
N
N N

P
的正交性。
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值得注意的是：
1. 非理想情况下得到的协方差矩阵的特征值满足：
空间平滑：对修正后的协方差方阵特征分解 降维处理
矩阵重构：对修正后的协方差长方阵奇异分解 非降维处理
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来波方向为：25 ,30 , 60
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一维噪声子空间法
针对MUSIC在实际情况下,由于R的信号特征值发生所谓的 “能量泄漏”而引起的性能下降,有人提出一种算法——一维 噪声子空间。基本思想：无论入射信号数为多少，始终认 为只有相关矩阵的最小特征值才是噪声特征值，其对应的 特征向量才是真正的噪声向量，并且构成一维噪声子空间。 优点：完全避开了在一般非理想的情下，MUSIC方法必须面 对的识别大特征值和小特征值的麻烦，容许小特征值有多 个取值，始终以最小特征值作为噪声特征值，从而使其对 应的特征向量所生成的噪声子空间不受信噪比的变化和阵 元数及快拍数限制的影响，始终与阵列的导向矢量保持最 严格的正交关系。特征矢量用得越少，分辨力越好。



2 n
I
E s t sH t Rs
满秩
先对矩阵作特征分解 A Rs AH
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特例：P个信号独立，E si t s*j t 0 i j


2 1源自文库
Rs


0

A




优波束形成的原理来理解。
波束扫描无论是普通波束形成还是最优波束形 成，其分辨率或多或少是受限于阵列孔径。
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2. 子空间法（Music法）与Capon法比较
P
N
相关矩阵 R
i
vi
v
H i


2 n
vi viH
i 1
i P 1
R1

P i 1
N
vi viH
i P 1
Music：Smusic
N
1
aH vi 2
i P 1
SC



aH


1 R 1 a


SNR
N

2 n
aH
2 Smusic vi

i P 1
Capon法与Music法的分辨率：
Capon法基于信号与干扰加噪声之比最大来求最优
普通波束形成（匹配滤波）W a0
y t aH 0 x t aH 0 s t a 1 s t aH 0 a 1
扫描指： 0 变化在[0,180]范围内，画出输出功 率随扫描角度变化的图形。
问题：虽可测多个信源，但当多个信源的夹角小 于一个波束宽度时，无法分辨。 波束宽度与阵列孔径成反比，又称为瑞利限。
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对
R

A

Rs
AH



2 n
I
的特征分解为
有P个大特征值
1


2 n

2


2 n


P


2 n


2 n



2 n
N P个
可以证明：P个大特征值对应的特征矢量 v1, v2, , v p
张成信号子空间
S
P N
span v1,v2, ,vp spana1,a2 , ,aP
WH opt
a

1
。
用
W opt

aH


1
R1a

R1a
为权系数进行波束扫描。
阵列波束形成的输出功率为
SC



W
H opt
RW opt

aH
1
R1a



DOA估计：^

arg
max
SC


。这里
SC
是Capon谱。
SC 分辨率明显高于普通波束扫描。基理可由最
解，从而得到与信号分量相对应的信号子空间和与信号分量 正交的噪声子空间，然后利用这两个子空间的正交性来估计 信号的参数。 窄带远场的信号模型： X (t) A( )s(t) N(t) 则 R E[ XX ] AE[SS ]A 2I ARs A 2I 由于信号和噪声相互独立，数据的协方差矩阵可以分解为与 信号和噪声相关的两部分，大特征值对应的特征矢量张成的 空间称为信号子空间，理想条件下，信号子空间和噪声子空 间是相互正交的。
波束形成。Music法则只关心信号与干扰之比最大
来求最优波束形成，不关心噪声。
在相关矩阵 R 精确已知（要求无穷多次快拍数据） 情况下，白噪声功率（或信噪比）不影响Music方法。
（但是不能推出 vi ai ）
或 R 的 N P 个小特征值对应的特征矢量 v p1, , vN
张成
N NP N
。
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Music----Multiple Signal Classification（多重信号分类法）
基本思想：将任意阵列输出数据的协方差矩阵进行特征分
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§ 5.2正交子空间投影与高分辨处理
1. 信号子空间与噪声子空间的定义
信号模型： N元阵接收p个信源
p
x t si t ai i N t i 1
无噪声条件下： xtspana1,a2 ,
,aP
定义spana1,a2 , ,aP 为信号子空间，是N维
第五章 阵列信号的高分辨处理
§ 5.1 测向问题
如何测定传播波的到达方向 基本原理：对于一般的远场信号而言，同一信号 到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导 致了各接收阵元间的相位差，利用各阵元间的相 位差可以估计出信号的方位。 传统测向方法： 1. 比相法（测定波程差,干涉仪，比相单脉冲）
只适合单个源。 2. 波束扫描（比幅单脉冲，用和波束）