点到平面距离的
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点到平面距离
学习目标：
1.会求平面的法向量； 2.会用空间向量解决距离问题； 3.探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
答：两点间的距离，点到直线的 距离(见课本P48) 2.已知A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2)试 求平面ABC的一个法向量.
观察下列图形回答问题：若正方体的棱长是1. 1.点D到平面A1B1B的距离是多少？
2.点C1到平面A1BD的距离是多少？
A1
B1
B
A
D1
C1
D
C
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
1 解：1)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的 2 法向量，则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
l
P
n
d
A
ห้องสมุดไป่ตู้
O
思考交流：平面到平面的距离
P
n
d
A
O
作业：
P50 A组2，3
如图，在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD-A1B1C1D1求下列问题： (1)证明AC1是平面A1B 的法向 量 D z (2)求点C1到平面A1BD的距离 A1
B1
B
A
C1
D1
D
C
y
x
解：据题意有A1(0,0,1), B(1,0,0), D(0,1,0), C1(1,1,1). (1)因为AC1=(1,1,1), A1B=(1,0,-1), A1D=(0,1,-1), 所以AC1 A1B=(1,1,1) (1,0,-1)=0 AC1 A1D=(1,1,1) (0,1,-1)=0 从而AC1A1B, AC1A1D 所以AC1平面A1BD B1 即AC1是平面A1BD的法向量 （2）因为BC1=(0,1,1),所以点 C1到平面A1BD的距离为 BC1 AC1 AC1
1
A1 D
B1
E
C
y
A x
B
小结：
怎样利用向量求距离？
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| PA | | n | | cos PA, n | | n|
=
| PA n | |n|
.
思考交流：直线到平面的 距离
y 2 x, 即 z 2 x,
取x=1得平面A1BE的 一个法向量n=(1,2,2)
D1
C1
A1
D
B1
C
B
选点B1到面A1 BE的斜向量为 A1 B1 0,1, 0 ,
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3 A
y
x
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|
A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
2 2 3 = = 3 3
z
A1
C1
A
D1
D
B
C
y
x
• 求点到平面的距离的步骤：
• • • • ⑴ 建立空间直角坐标系； ⑵ 求平面的一个法向量； ⑶ 求斜向量坐标； ⑷ 代入公式求出距离.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点， 求B1到面A1BE的距离；
z
学习目标：
1.会求平面的法向量； 2.会用空间向量解决距离问题； 3.探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
答：两点间的距离，点到直线的 距离(见课本P48) 2.已知A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2)试 求平面ABC的一个法向量.
观察下列图形回答问题：若正方体的棱长是1. 1.点D到平面A1B1B的距离是多少？
2.点C1到平面A1BD的距离是多少？
A1
B1
B
A
D1
C1
D
C
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
1 解：1)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的 2 法向量，则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
l
P
n
d
A
ห้องสมุดไป่ตู้
O
思考交流：平面到平面的距离
P
n
d
A
O
作业：
P50 A组2，3
如图，在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD-A1B1C1D1求下列问题： (1)证明AC1是平面A1B 的法向 量 D z (2)求点C1到平面A1BD的距离 A1
B1
B
A
C1
D1
D
C
y
x
解：据题意有A1(0,0,1), B(1,0,0), D(0,1,0), C1(1,1,1). (1)因为AC1=(1,1,1), A1B=(1,0,-1), A1D=(0,1,-1), 所以AC1 A1B=(1,1,1) (1,0,-1)=0 AC1 A1D=(1,1,1) (0,1,-1)=0 从而AC1A1B, AC1A1D 所以AC1平面A1BD B1 即AC1是平面A1BD的法向量 （2）因为BC1=(0,1,1),所以点 C1到平面A1BD的距离为 BC1 AC1 AC1
1
A1 D
B1
E
C
y
A x
B
小结：
怎样利用向量求距离？
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| PA | | n | | cos PA, n | | n|
=
| PA n | |n|
.
思考交流：直线到平面的 距离
y 2 x, 即 z 2 x,
取x=1得平面A1BE的 一个法向量n=(1,2,2)
D1
C1
A1
D
B1
C
B
选点B1到面A1 BE的斜向量为 A1 B1 0,1, 0 ,
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3 A
y
x
练习1：
已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平 面DBEF的距离。 z D1 F C
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|
A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
2 2 3 = = 3 3
z
A1
C1
A
D1
D
B
C
y
x
• 求点到平面的距离的步骤：
• • • • ⑴ 建立空间直角坐标系； ⑵ 求平面的一个法向量； ⑶ 求斜向量坐标； ⑷ 代入公式求出距离.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点， 求B1到面A1BE的距离；
z