《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；
2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；
3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.
【知识网络】
【要点梳理】
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数?
?
?
有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
按与0的大小关系分：
实数0????
???
????????
正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数
要点诠释：
（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2
如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2
a ≥0；
（3
0≥ (0a ≥).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算
数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数
大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、平方根与立方根
1、在①2的立方
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【思路点拨】根据立方根平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案． 【答案】B ； 【解析】
解：∵22
∴②③正确，①④错误；∴正确的结论有2个． 【总结升华】此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质．注意熟记定义是解此题的关键． 举一反三：
【变式】（2015春?潍坊期中）已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根． 【答案】
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1=9， ∴a=5，
∵3a+b﹣1的立方根是4， ∴3a+b﹣1=64， ∴b=50， ∴a+b=55，
∴a+b 的平方根是±．
210.1=＝
若7160.03670.03=，542.1670.33=，则___
__________3673= 【答案】±1.01；7.16；
【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，
变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16
【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.
类型二、实数的概念与运算
3、把下列各数填入相应的集合： －1、3、π、－3.1
4、9、26-、2
2-、7
.0 ． （1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝．
【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】
（1）有理数集合｛－1、－3.14、9、7.0 ｝；
（2）无理数集合｛ 3、π、26-、2
2
-
｝； （3）正实数集合｛ 3、π、9、26-、7.0 ｝；
（4）负实数集合｛ －1、－3.14、2
2
-
｝． 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 举一反三：
π22
7
，0.3，其中无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】B ；
π.
4、计算（1）233)32(1000216-++ （2）23
)4
5
1(12726-+-
（3）3
2)13
1
)(951()31(--+
【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.
【答案与解析】
解：（1）2
33)3
2
(1000216-++＝226101633
++
=
（2）23
)451(12726-+-1113412=-+=-
（3）3
2)13
1
)(951()31(--+＝1112133333+=+=-=-. 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方
法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：
【变式】计算(1) 333
000216.0008.0127
26
---- (2) ()2
2
33
2
3
)3()2
1()4()4(2--?-+-?-
【答案】 解：(1) 333
000216.0008.0127
26
----
()0.20.06=
-- 29150
=-
(2) ()2
2
33
2
3
)3()2
1()4()4(2--?-+-?-
()1
84434
=-?+-?
- 321336=---=-.
5、（2015春?濉溪县校级月考）实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，化简
+
+|a ﹣b|．
【答案与解析】
解：由a ，b 在数轴上的位置可知：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2， ∴a+1＞0，b ﹣2＜0，a ﹣b ＜0， ∴
=a+1+2﹣b+b ﹣a=3．
【总结升华】本题考查实数与数轴，解决本题的关键是利用实数与数轴的关系，判断a+1、b ﹣2，a ﹣b 的符号． 举一反三：
【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2
,1,
,a a
a a -的大小关系是： ； -1
a
【答案】
21
a a a a
<<<-； 类型三、实数综合应用
6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6
米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？
【答案与解析】
解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，
≈（米）．
12.247
由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，
18.247≈333.0（平方米）．
所以扩建后鱼池的面积为2
答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．
【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．
举一反三：
m，池深1.5m，求这个水池的底边长．【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863
【答案】
解：设水池的底边长为x，由题意得
2 1.5486
x?=
2324
x=
x=
18
答：这个水池的底边长为18m.
《数的开方》复习总结课导学案
第11章《数的开方》复习课导学案（3课时内容） 核心知识梳理: 1、平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫 ，即若2x a =，那么x 叫 ；记作x ＝ ，而a 叫x 的 .一个正数有 个平方根，它们 ；一个负数 平方根；0的平方根是 。正数a 的 叫a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 . ＝ ，＝ ，＝ . 2、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫 ，即若3x a =，则x 叫 ；记作x =a 叫x .一个正数有一个 的立方根，一个负数有一个 的立方根；0的立方根是 . ＝ ，＝ ，＝ . 3、开方：求一个数 的运算叫开方，求一个非负数的平方根的运算叫 ，求 的运算叫开立方.若2 9x =，则x ＝ ；若 3125x =，则x ＝ ，若8=，则a ＝ . 4、无理数和实数： 叫无理数. 和 统称为实数. 实数与数轴上的点有 关系，在· 13,0.50.303003003...57π -，中，有理数有 ，无理数有 ，分数有 ，整数有 . 核心问题聚焦： 考点一：开方运算 例1 已知()2 42-1=25x ，求x 的值.
1、已知圆的面积为2169cm π，求这个圆的周长. 2、数2-1x 的立方根是2，求x 的值. 3、若实数x y 、()2-4=0y ，求+x y 的平方根. 考点2 开方与绝对值的意义 例2 若-3<<-2a 3-+-3-a a . 追踪训练 4、若-2=2-a a ，则a 的取值范围是 . 5b b 的取值范围是 . 6a ，则a 的取值范围是 . 7、若-1=2x ，则x ＝ . 考点3 数的概念 例3 的整数部分是a ，小数部分是b 的整数部分是x ，小数部分是y ， .
八年级数学平方根练习题包含答案
平方根检测题 ◆随堂检测 1、25 9的算术平方根是 ；___ __ 2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3x 的取值范围是 ，若a ≥04、下列叙述错误的是（ ） A 、-4是16的平方根 B 、17是2(17)-的算术平方根 C 、164的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 ◆典例分析 例：已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且a 、b |4|0b -=，求c 的取值范围 分析：根据非负数的性质求a 、b 的值，再由三角形三边关系确定c 的范围 |4|0b -=0 |4|b -≥0|4|b -=0 所以a=3 b=4 又因为b-a A ．1a + B ．21a + C ．21a + D ．1a + 2、（08年泰安市）88的整数部分是 ；若a<57 平方根测试 一、选择题（30分） 1、下列叙述正确的是（） A．如果a存在平方根，则a>0 B ．=±4 C ．是5的一个平方根D．5的平方根是 2、“的平方根是”用数学式表示为（） A ． B ． C ． D ． 3、已知正方形的边长为a，面积为S，则（） A ． B ． C ． D ． 4、下列说法正确的是（） A．一个数的平方根一定是两个 B．一个正数的平方根一定是它的算术平方根 C．一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 D．一个数的正的平方根是算术平方根 5、一个正数的算术平方根为m，则比这个数大2的数的算术平方根是（） A ． B ．C．m2＋2D．m＋2 6、如果a是b的一个平方根，则b的算术平方根是（） A．a B．－a C．±a D．|a| 7、若x＜2，化简的正确结果是（） A．－1B．1 C．2x－5D．5－2x 8、数a 在数轴上表示如图所示，则化简的结果是（） A．－1B．1－2a C．1D．2a－1 9、的算术平方根是（） A．－4B．4 C．2D．－2 10、下列说法中正确的有（）： ①3是9的平方根；②9的平方根是3；③4是8的正的平方根；④-8是64的负的平方根。 A．1个B．2个C．3个D．4个 二、解答题（30分） 11．9的算术平方根是，16的算术平方根是； 12．若x 为一个两位整数，则的取值范围是________。 13．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 14．一个数的平方等于49，则这个数是 15．16的算术平方根是 ，平方根是 16．一个负数的平方等于81，则这个负数是 17．如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 18．当_______x 时， x -11有意义； 19．若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 20．若a 的平方根是±5，则a = 。 21．利用平方根、立方根来解下列方程．（10分） （1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0； 22、求下列各式的值. （6分） 23．探究题（7分） （1）若 ； ，则 ________， ________，________，________。 （2）若； ，则 ________， ________， 24．求下列各式中的值。（9分） （1）26 （2）2 )6(- （3）2)6( （4）－2 6 （5）±2 )6(- （6）－0 （7 （8 （9 25、（8分） ，求 数的开方单元测试题 班级：姓名：__________ 一、选择题：（每题2分，共24分） 1、在数-5，0，7 22，2006，20.80中，有平方根的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、10的平方根应表示为（） A 、210 B 、10± C 、10 D 、10- 3、在数-27，-1.25，0，7 24中，立方根为正的数有（） A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个 4、下面的运算中，是开平方运算的是（） A 、4069)64(2=- B 、864= C 、864±=± D 、4643= 5、下列各数中：5，-3，0，34， 722，-1.732，25，2π-，293+，无理数的个数有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、下列说法中，正确的有（）①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③两个无理数的和是无理数；④对于实数a 、b,如果22b a =，那么a=b ；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数。 A 、②④ B 、①②⑤ C 、② D 、②⑤ 7、下列各式正确的是（） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- 8、在数轴上，原点和原点左边的所有点表示的数是（） A 、负有理数 B 、负数 C 、零和负有理数 D 、零和负实数 9、a 、b A 、a 、b 互为相反数B 、b+a ?0C 、零和负有理数D 、b-a ?0 10、下列式子正确的是（） A 、55?B 、23-?-C 、3223-?-D 、230-? 0 11一个自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根为（）A 、22+a B 、12+a C 、1+a D 、1+a 12、若x -有意义，则x x -一定是（）A 、正数B 、非负数C 、负数D 、非正数 二、填空题：（每空2分，共38分） 13、若a 的算术平方根为2 1，则a= 14、如果68.28,868.26.2333==x ，那么x= 15、若0125=-++--y x y x ，则=x y 16、若m=3，代数式2213m m m +-+= 17、若2 992 2--+-=x x x y +1，则y x 43+= 18、比较大小：53112，10 11-67- 19、38的平方根是，2)4(-的算术平方根是，81的平方根是 20、把2写成一个数的算术平方根的形式： 21、若一个正数的两个平方根为2m-6与3m+1，则这个数是；若a+3与2a-15是m 的平方根，则m= 22、绝对值最小的实数是，21-的绝对值是，21-的相反数是 23、若实数满足1-=a a ，则a 是；若40≤≤a ，则a 的取值范围是 24、在数轴上，与表示7-的点相距2的点表示的数为 三、解答题：（每题2分，共8分） 25、求下列各数的平方根： （1）0（2）0.49（3）16 91（4）2)5(- 26、求下列各数的立方根：（每题2分，共8分） （1）27 102（2）-0.008（3）0（4）125-- 27、求下列各式的值：（每题3分，共27分） （1）16.0（2）169-（3）4 12±（4）3027.0 平方根、算术平方根导学案 学习目标：1.掌握平方根的概念及平方根的性质； 2.区别平方根与算数平方根； 3.会求一个数的平方根。 重点：掌握平方根的概念，会求一个数的平方根。 难点：平方根与算数平方根的区别。 探究： [活动1] 探索归纳，挑战新知 ： 1、一个数的平方是9，这个数是 2、平方等于 425 的数是 3、平方等于0.64的数是 4、填表： 5、平方根（定义）：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的 或 。即如果X 2＝a ，那么X 叫做a 的 。 6、符号表示：a 的平方根记作 ，读作： 。（2叫根指数，通常省略不写） 7、探究总结： （ ）2=16 → 16± = （ ）2=81 → 81± = （ ）2=0 → 0± = （ ）2=-4 → 4-± = ①一个正数有 个平方根，它们 。 ②0只有一个平方根，就是 。 ③负数 平方根。 a ±表示求a 的平方根的运算，a 的取值范围是 。 当a ＜0时，称 无意义 425 a ± 8、 探索平方与开平方的关系: 归纳：求一个数a 的 的运算，叫做开平方，a 叫 。平方与开平方互为 。根据这种运算关系可以求一个数的 。 [活动2]利用新知，尝试应用: 例1：求下列各数的平方根: (1)64； (2)49121 ； (3) 0.0004； (4) 11 解：（1） （2） （3） （4） [活动3]合作探究，突破难点： 算术平方根（定义）： 。 a 的算术平方根记作 ，读作 。（根指数2省略） 算术平方根的理解:如果一个数有平方根，那么这个数的算术平方根就是平方根中非负的那个。 举例:16±= (16的平方根是 ） =0 则16的算术平方根是4 则0的算术平方根是0 即 16=4 即 =0 表示求a 的算术平方根的运算，a 的取值范围是 。 当a ＜0时，称 无意义。 例2、求下列各数的算术平方根 (1)25； (2)49121 ； (3) 0.36； (4) 11 解： (1) (2) (3) (4) 0±4±4±0a a 八年级上期数学单元教学诊断㈠－数的开方 一、填空题 1、4的平方根是_____，算术平方根是_____，3的算术平方根是 ；－8的立方根是_____。 －216的立方根是________。3 83的立方根是_______。25的算术平方根是______. 4 12的平方根是 ；－27的立方根是 。 2、一个数的算术平方根是3，这个数是 。 3、23-的相反数是 ，绝对值是 。 4. 0.25的平方根是 ;９2 的算术平方根是 , 16 的平方根是 。 5. =81 ，25 16±= ，2)3(-= 。 ±81＝__________，－ 3－18＝__________。225-= 6．在实数中，绝对值最小的数是 ，最大的负整数是 ． 7. 若a 的一个平方根是b ，那么它的另一个平方根是 ， 8、在4、－8、213 、0.3、0、π中，__________是无理数。 9、比较大小：32__________2 3 10.已知,08,0362532=+=-y x 则y x +的值是____________. 11.当642=a 时, .___________3=a 12、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝______； 若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________ 13、用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12， 1 3，…，119，120 ，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少．．要选__________个数。 二、选择题 14、下面说法中不正确的是__________ A 、6是36的平方根 B 、－6是36的平方根 C 、36的平方根是6 D 、36的算术平方根是6 15、下列说法正确的是（ ） A 、1的立方根是1± B 、24±= C 、81的平方根是3± D 、0>x 16、如果5||=x ，则x 等于（ ） A 、5± B 、5 C 、5- D 、236.2± 17、下列判断正确的是__________ A 、两个无理数的和仍是无理数 B 、任何数的平方根都是正数 C 、无理数都是有理数开方开不尽的数 D 、|－9|的负的平方根是－3 七年级下册平方根练习题及窃案 (一)填空１．16的平方根是__＿＿＿___.３.49的平方根是____. 5．4的平方根是_＿_＿＿＿_ 7.8１的平方根是____＿___. 8.25的算术平方根是＿___＿_＿＿＿． 9.49的算术平方根是_＿____＿__．］11．62的平方根是_＿____．12．0.01９6的算术平方根是＿_＿____＿．13.4的算术平方根是_＿___＿__; ９的平方根是__＿__＿_＿．1４.64的算术平方根是__＿____＿.１5.3６的平方根是＿____＿_＿； 4.4１的算术平方根是_____＿_. １８．4的平方根是____, ４的算术平方根是___．19．２５6的平方根是____． ______. 37.与数轴上的点一一对应的数是____＿___.3８.______＿_统称整数；有理数和无理数统称_＿＿______． 0.10１0010001…各数中，属于有理数的有____＿＿＿_;属于无理数的有_＿___＿__. ４0.把下列各数中的无理数填在表示无理数集合的大括号里: 无理数集 合:{ } 41.绝对值最小的实数是__＿_____． ４4．无限不循环小数叫做__＿__＿_＿数．４5．在实数范围内分解因式：2ｘ3+x2-６x-3=__＿_＿___. (二）选择 ４6．3６的平方根是［］ ４8．在实数范围内,数0,7，-81,(－5)２中，有平方根的有 [ ] A.1个；Ｂ．2个;C．３个;Ｄ.4个. A．-36; B.3６; C．±6;Ｄ．±36. 50．下列语句中,正确的是［］ ５1．０ 是[ ] A.最小的有理数；Ｂ.绝对值最小的实数；C．最小的自然数;Ｄ．最小的整数． 52.以下四种命题,正确的命题是[ ] A.0是自然数； B.0是正数； C.0是无理数；Ｄ.0是整数． 53.和数轴上的点一一对应的数为 [ ] A.整数； B.有理数;Ｃ．无理数； D．实数. 54.和数轴上的点一一对应的数是 [ ] A.有理数； B.无理数； C．实数; D．不存在这样的数. 55.全体小数所在的集合是 [ ］ A.分数集合；B．有理数集合；Ｃ．无理数集合； D.实数集合． 56．下列三个命题:(1)两个无理数的和一定是无理数;(2)两个无理数的积一定是无理数; (３）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是[ ] A．(１)，(2）和(3）; B．(1）和（３);C.只有(1）;D.只有(3）． 数是[ ] Ａ．4; B．3; C.6；D.５． Ａ．2３60; B．２3６C.23.6； D．２．36. 平方根（1） 学习目标 1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性 2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根 学习重点 了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根 学习难点理解算术平方根的双重非负性 学习过程 预习案 活动1学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252 dm 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 活动2:自学教材，回答问题： 1. 一般地，如果一个___ 数x 的平方等于a ，即2 x =a ，那么这个______叫做a 的_________．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：______的算术平方根是0. 记作0= 2.由以上定义可知如果2 x =a ，那么x 就叫a 的算术平方根吗判断下列语句是否正确 ①5是25的算术平方根（ ） ②-6是36的算术平方根（ ） ③是的算术平方根（ ） ④-5是-25的算术平方根（ ） 3. 3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根写在下面，和同座交流一下 4.试一试：你能根据等式：2 12=144说出144的算术平方根是多少吗并用等式表示出来． 例：求下列各数的算术平方根： （1）100； (2) 64 49 ； (3) ； ⑷ 0； 探究案 1、 1.非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0.64 的算术平方 根____，0的算术平方根是____ 2. 41 的算术平方根是（ ） A ．161 B ．81 C ．21 D ．21± 3.若x 是49的算术平方根，则x =（ ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 4.小明房间的面积为米2 ，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 . 5.想一想：下列式子表示什么意思你能求出它们的值吗 总结：1.正数有 的算术平方根 0的算术平方根是 负数 2.对于a ：a 0 训练案 1．下列哪些数有算术平方根 ， - 161 ， π， 0， （-3）2，（-1）3 2.下列各式中无意义的是（ ） A ．7- B ．7 C.7- D ．()2 7-- 3. 下列运算正确的是（ ） A ．33-= B ．33-=- C = D 3=- 4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x 的取值范围： ⑵x -5 5.若20a -=，则a= ,b= ,2 a b -= ． ［反思归纳］ 1. 算术平方根的定义、表示方法和性质 2. 求一个非负数的算术平方根 具有双重非负性 章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2）211x x -+； （3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 数的开方单元测试（一） 一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列说法不正确．．． 的是（ ） A 如果一个数有两个平方根，那么它的平方根的和为0 B 如果一个数只有一个平方根，那么它的平方根是0 C 任何数的决对值都有平方根 D 任何数的绝对值的相反数都没有平方根 2、一个实数与它倒数之和是2，则它的平方根是（ ） A 2 B ±2 C 1 D ±1 3、下列各数中没有平方根的是（ ） A-22 B 0 C 12 D （-4）2 4、4 1的算术平方根是（ ） A 12 B - 12 C 116 D ±12 5、若a 2=(-5)2 b 3=(-5)3 ,则a + b 的值为（ ） A 0 B ±10 C 0或10 D 0或-10 6、如果一个数的平方根是a+3及15，那么这个数是（ ） A 12 B 18 C-12 D -18 7、如果一个数的平方根与立法根相同，那么这个数是（ ） A 0 B ±1 C 0和1 D 0或±1 8、使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是（ ） A x ≥0 B x>- 23 C x ≥- 32 D x ≥- 23 9、在31-，0，4.0-，227 ，9，0.3，0.303003…（每相邻两个3之间依次多一个0），1π 中，无理数有（ ）个 A 0 B 1 C 2 D 3 10、与数轴上的点一一对应的是（ ） A 有理数 B 整数 C 无理数 D 实数 二、填空题（每题2分，共30分） 1.若x 2=9,则x=_________ 2.25的算术平方根是____________ 3.如果正数x 的平方根为a+2与3a-6,那么x=________ 4.若m 的平方根是±4，2n 的平方根是±5，则m+2n=__________ 5.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________ 6.一个负数a 的倒数等于它本身，则2+a =___________ 7._________ 8.当b=-1时，2)1(-b =________ 9.数轴上到原点的距离等于10的数是________ 10.若无理数a 满足不等式1＜a ＜4,请你写出两个你熟悉的无理数____ ___ 11.计算=+-+-33328)3()1( 12.比较大小：-3 13.若实数a 、b 满足(a+b-2)2+032=+-a b ,则a-b=______ 14.当m=-3时，=++m m m 22 15.已知2+x 与3-y 互为相反数，则xy=_______ 三、解答题（共40分） 1.求出下列各式中x 的值。（每题5分，共20分） （1）169x 2=100 (2)x 2-289=0 (3) 27(x-1)3=8 (4)3x 3+24=0 2.若m 、n 是实数，且023=-++n m , 求m 、n 的值（4分） 3.已知0)1(12=-++y x 求20043y x +的值（6分） 数的开方与二次根式 章节 第一章课题数的开方与二次根式 课型3复习课教法讲练结合 教学目标（知识、能力、教育）1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x2=a，那么x叫做a的。一个正数有个平方根，它们互为； 零的平方根是；没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有一个 的 立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?= ≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 八年级（上）《数的开方》测试题 命题教师：林剑飞 A . ( 5)2 C . 5是25的算术平方根; 7 . '、16的平方根是（ ） A . ± 4 B . 4 8下列写法不正确的是（ ） C . ± 2 D . 2 9 .如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是（ ） A . 1 B . 1 C . 0 10 .计算-25 3 8的结果是（ 1. 2. 、选择题（每小题2分, 9的平方根是（ F 列各数中没有平方根的是 （ 共30分）: C . 3. 1 1 —的平方根等于 丄，其数学关系是 4. (3) a 没有平方根; 7是49的平方根; C . D . A . (1 )、(2) B . (1 )、(3) C . (2 )、(3) D . ( 3 )、 (4) 5 .如果一个数的平方根是 a 3及15，那么这个数是 ( ) A . 12 B . 18 C . 12 D . 18 6.卜列说法中，正确的是（ ) （4 ）只有正数才有平方根；其中正确的说法是 （ B . 16是36的算术平方 根; 2 A . 6是（6）的算术平方根; A . . 0.01 0.1 B . '、而 0.1 C . '、而 10 D . -.100 10 2| D . 5不是25的平方根; C . 3 2,0,、、3, 3.141592623 , 4 , 0.23232323L , 0.2020020002 L 3 数有（ ） 12 .下列各数中都是无理数的是（ B . 3.15 14 .现有四个结论：①绝对值等于它本身的实数只有零；②相反数等于它本身的实数只有零③倒数等 于它本身的只有实数 1 :④算术平方根等于它本身的实数只有 1;其中正确的有（ 15 .下列说法正确的是（ 二、填空题：（每空3分，共39分） 1 . 一个正数如果有平方根，那么必定有 ____________ 个，且它们的关系是 ______________________ : 2. 如果1.2是m 的平方根，那么 m _____________ , m 的另一个平方根是 __________________ 3. _______________________________________________________ 一个正方形草地的面积是 121 m 2，则它的边长是 ___________________________________________________ m ； 4. 已知2x 4的算术平方根是 0,则x ______________ ； 5. 计算：3 ；91 __________ 。 6 . 8的立方根与 81的算术平方根的和为 ______________ ； 7.在数轴上离原点距离是 -5的点所表示的数是 _______________ ； &大于17小于-37的整数有 ________________ ； 9 . 3 27 的相反数是— —；3 2的绝对值是 __________ ； A . 〔2 , T , 38 B . 3'4, 3 , 0.3 C . .15 , ,.1000 3.14 D . 32 , 0, 13 .介于3与 之间的有理数是（ 11.在实数 中无理数的个 C . 3.1 A .无限小数是无理数 B .带根号的数是无理数 C .无理数是无限小数 D .无理数是开方开不尽的数 数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分 考试时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（ ） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（ ） A 、39±=± B 、39= C 、39 ±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、5->x B 、5- 6.1平方根导学案（第3课时） 【学习目标】 1.了解平方根的概念，掌握平方根的特征. 2.利用开平方与平方互为逆运算的关系，求非负数的平方根. 【学习重点】 平方根的概念. 【学习难点】 平方根与算术平方根的区别与联系. 【学习过程】 一、温故知新 回顾算数平方根的概念： 二、探究新知 1.归纳平方根的概念. 问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 问题2 根据上面的研究过程填表： __________________________________________________________________________________________________. 2.认识开平方运算. 问题4 完成课件中的图1、图2，并说明两图中的运算有什么关系？ 开平方运算与平方运算互为_____. 例1 求下列各数的平方根： （1）100； （2） 16 9； （3）25.0 ； （4）4 1 2； （5）0 例2 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）5-是25的平方根； （4）64的平方根是8±； （5）16-的平方根是4-. 3.归纳平方根的特征. 问题5 根据上面的例题思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？为什么？ 问题6 我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？ 例3 判断下列各式计算是否正确，并说明理由. （1）24±=； （2）2 4±=± ； （3）2 4±=- . 例4 说出下列各式的意义，并求它们的值： （1）36 ； （2）81 .0- ； （3）9 49± . 问题7 如果知道一个数的算术平方根就可以立即写出它的负的平方根，为什么？ 三、归纳小结 1.回顾本节课所学习的主要内容； 2.总结平方根与算术平方根的概念的区别与联系： 区别：正数的平方根有 个，而它的算术平方根只有 个； 联系：正数的两个平方根中正的那个就是它的 ，0的平方根就是它的 . 七年级数学下册第六章实数复习导学案 复习目标： 1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。 2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几种基本公式。 3.增强用类比的方法分析问题的能力。 一、知识回顾 （一）数的开方：下列各式有什么意义, 算术平方根、平方根、立方根是如何定义的? a a ±3a 练习：1、—8是的平方根； 64的平方根是；64的值是； 364的平方根是；—64的立方根是； 2、大于17 -而小于11的所有整数为 （二）算术平方根、平方根、立方根的区别与联系 练习： 1、169的算术平方根表示为 = ； 14 2 25的平方根表示为 = ；0.064的立方根表示为 = 2、x取何值时，下列各式有意义 （1）x - 4：；（2）34x +：；（3）2 1 2 - + x x ： 3、判断正误 (1)4的算术平方根是±2. (2)4的平方根是2. (3)8的立方是2. (4)－1的立方根是－1 (5)－1的平方根是±1 （6）16的平方根是±4 （7）-6表示6的算术平方根的相反数 （8）-a2一定没有平方根 4、一个正数x的平方根分别是a+1和a-3，则这个正数是 . 5、解下列方程128 23= x9 )2 (2= - x （三）几个基本公式：（注意字母a 的取值范围） 2)(a = 2a = 33a = 33)(a = 3a -= 练习： 1、2 )71 (-= 21999= 的值求、若33 2,02a a a +< （四）实数: 实数的分类 _________???? ????????????????????????? ?????? ???? ?? ?????? ______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________ 1．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应． 2．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数， 则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。 3.______(0) ||______(0)a a a ≥?=? 练习：下列各数中，有理数为 ；无理数为 3737737773.085094 320225233 、、、、、、、、、---π (相邻两个3之间的7逐渐加1) （二）实数的有关运算 1、计算3 232223--++- 2、解方程（1） 4)3(92 =-y （2）()01253273 =++x 八年级数学第十二章《数的开方》单元测试题 1、下列各数：3.141592，—3，0.16，210-，π-， 1010010001.0，7 22，35，2.0 ，8是无理数的有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列说法正确的是( ) A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 3 π是分数 3、若规定误差小于1, 那么60的估算值为( ) A. 3 B. 7 C. 8 D. 7或8 4、若a 有意义，则a 的值是（ ） A 、0≥a B 、 0≤a C 、0=a D 、0≠a 5、圆的面积增加为原来的n 倍，则它的半径是原来的（ ）。 A 、n 倍 B 、倍2 n C 、n 倍 D 、２n 倍。 6、26)(-的平方根是（ ） A 、－6 B 、36 C 、±6 D 、±6 7、若9,422==b a ，且0 七年级下册平方根 （一）填空1．16的平方根是________．3．49的平方根是____． 5．4的平方根是_______ 7．81的平方根是________．8．25的算术平方根是_________． 9．49的算术平方根是_________．]11．62的平方根是______．12．的算术平方根是________．13．4的算术平方根是________；9的平方根是________． 14．64的算术平方根是________．15．36的平方根是________；的算术平方根是_______． 18．4的平方根是____, 4的算术平方根是___．19．256的平方根是____． ______．37．与数轴上的点一一对应的数是________．38．________统称整数；有理数和无理数统称_________． …各数中，属于有理数的有________；属于无理数的有________． 40．把下列各数中的无理数填在表示无理数集合的大括号里： 无理数集合：{ } 41．绝对值最小的实数是________． 44．无限不循环小数叫做________数．45．在实数范围内分解因式：2x3+x2-6x-3=________． （二）选择 46．36的平方根是[ ] 48．在实数范围内，数0，7，-81，(-5)2中，有平方根的有[ ] A．1个；B．2个；C．3个；D．4个． A．-36；B．36；C．±6；D．±36． 50．下列语句中，正确的是[ ] 51．0是[ ] A．最小的有理数；B．绝对值最小的实数；C．最小的自然数；D．最小的整数． 52．以下四种命题，正确的命题是[ ] A．0是自然数；B．0是正数；C．0是无理数；D．0是整数． 53．和数轴上的点一一对应的数为[ ] A．整数；B．有理数；C．无理数；D．实数． 54．和数轴上的点一一对应的数是[ ] A．有理数；B．无理数；C．实数；D．不存在这样的数． 55．全体小数所在的集合是[ ] A．分数集合；B．有理数集合；C．无理数集合；D．实数集合． 56．下列三个命题：（1）两个无理数的和一定是无理数；（2）两个无理数的积一定是无理数；（3）一个有理数与一个无理数的和一定是无理数．其中真命题是[ ] A．（1），（2）和（3）；B．（1）和（3）；C．只有（1）；D．只有（3）． 数是[ ] A．4；B．3；C．6；D．5． A．2360；B．236 C．；D．． 59．数轴上全部的点表示的数是[ ]A．自然数B．整数；C．实数；D．无理数；E．有理数．60．和数轴上的点成一一对应关系的数是[ ]A．无理数；B．有理数；C．实数；D．自然数． 11.3数的开方复习课导学案 一、基础知识 1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 。求一个数a的平方根的运算叫做. （2）平方根的性质 ①一个正数有个平方根，它们互为；②0有个平方根，是它 ③负数没有平方根。 （3）平方和开平方互为逆运算； 2、算术平方根 （1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。 一个非负数a的正的平方根用符号表示为：“”，读作：“”，其中a叫做被开方数 （2）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根 （3）重要性质： =2(0) a =≥ a a 3、立方根 （1）立方根的意义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。如果x3=a，则x 叫做a的立方根。记作：,读作“” 。 求一个数的立方根的运算叫做开立方。 （2）立方根的性质 ①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。 （3）重要性质： = 4、二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法法则 =≥≥=≥≥ a b a b 0,0,0) （2）二次根式的除法法则 a b a b =≥>=≥> 0,0,0) 4、实数 （1）无理数的意义：小数叫无理数； （2）实数的意义：统称为实数。 （3）实数的分类：1.按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、02.按实数的定义分类： 问题1：你能在数轴上找到表示 的点吗？ 问题2：无理数与数轴上的点一一对应吗？ 问题3：有理数与数轴上的点一一对应吗？ 问题4：实数与数轴上的点一一对应吗？ 3、无理数的特征有哪些？ （1） ；（2） ；（3） 。 二、练习提高 1、4的平方根是 ; 的平方根是 ; = ; 2= ; = ; 2= ; = 。 2、下列数中属于无理数的在下面划“√” 222; 3.14159;; 3.14;7 23π- 3、下列各数中： 21(3467 π-，，，中，属于分数的有哪些？ 4、求下列各数的平方根和算术平方根： 225(1);(2)(4);(3)(2)(8).4 --- 5、计算： -±±平方根练习测试题
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