奥数-绝对值-(5)

第五讲 绝对值

绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。

一. 基本概念和公式

a) 绝对值的定义（注意它的非负性）

绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

例 若1x -与2(2)y +互为相反数，试简化2005()x y +

b) 绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

①) a 表示a 点到0点的距离

②) a b -表示a 点到b 点的距离

③) a b +表示a 点到-b 点的距离

c) 分类讨论思想（零点分段法）

利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。

例 设a 是有理数，求a a +的值

二、难点回顾

难点：1，几何意义

2，零点分段法

三、典型例题

A) 化简

例1 若20a -≤≤，化简22a a ++-

解：4

例2 化简523x x ++-

解：原式32,(5)38,(5)2332()2

x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩ B) 解方程

例3 解方程 1、4329x x +=+

2、324x x -+=

解：1，x=3或x=-2；2，x=1或x=-1.5

例4 解方程 23143x x x +--=-

解：零点分段法，x=7/3

C) 解不等式

例5 解下列不等式1、45x ->

2、31425

x x ++> 解：1，x<-1或x>9；2，x>2或x<-3

例6 解不等式362586x x x -+-<-

解：零点分段法，x 〉17/13

例7 解不等式23239x x --+<

解：不等式的解集为任意数

D) 最值问题

例8 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值

解：当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为-3

例9 已知5434x x -≤-，求13x x --+的最大值与最小值

解：当3x ≤时，取最大值为4；当79x =时，取最小值为329- E) 带参数的问题

例10 已知22430y ax y x -+--=，问a 为何值时，x 为负值？

解：a<3

例11 解关于x 的不等式11ax ax ->-

解：当0a >时，解为1x a <；当0a <时，解为1x a

>；当0a =时，解为一切数

F) 几何意义

例12（同步，P120）（第10届，希望杯）已知0a 4≤≤，那么|a 2||3a |-+-的最大值等于（ ）

A 1

B 5

C 8

D 3

例13 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

解：c-a

G ）应用题

例14（同步，P99）（1998，湖北荆州市）某城镇沿环形路有5所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15台、7台、11台、3台、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给临校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最少，应做怎样安排？

四、课后练习题

练习1 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求

2x y x y +-的值 解：-1000

练习2 化简3223x x -++ 解：当32x ≤-时，51x --；当3223x -<≤时，5x -+；当23

x >时，51x + 练习3 化简121x x --++

解：原式22,(1)22,(11)4,(13)

22,(3)

x x x x x x x --<-⎧⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩

练习4 解下列方程

1、4835x x +-=

2、33258x x x +--=+

解：1，无解；2，133

x =- 练习5 解下列不等式（选作）

1、4231x x ---≤

2、2424x x +>+

解：1，0x ≤或2x ≥；2，2x <-

练习6 已知1x ≤，试求22x x --+的最大值和最小值 解：当2x ≤-时，有最大值4；当2x ≥时，有最小值-4 练习7 设0a >，求下列不等式的解（选作） 1、x a >

2、x a ≤

3、0x a <≤

解：1，x a >或x a <-；2，a x a -≤≤；3，a x a -≤≤且0x ≠；

练习8 设a b c d <<<,求y x a x b x c x d =-+-+-+-的最小值

解：（d-a ）+ （c-b ）

补充题1 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？

解：2或3或5或6

补充题2 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是多少？

解：当x=96时，y 取最大值211

补充题3 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______

解：19

-

补充题4若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值． 分析与解 要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有

｜4-5x ｜=4-5x 且｜1-3x ｜=3x-1． 故x 应满足的条件是 此时

原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4

=7．