沪教版高中数学高二下册第十二章12.3 椭圆的参数方程 教案

圆锥曲线的参数方程

─椭圆的参数方程教学设计说明

教学目标

（1）掌握椭圆的参数方程的形式，以及椭圆的参数方程与普通方程的互化；

（2）能选取适当的参数求椭圆的参数方程并能利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹、距离等问题。

教学重点：（1）椭圆的参数方程与普通方程的相互转化

（2）椭圆的参数方程的应用

教学难点：椭圆参数方程的应用

教材分析

相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在设动点时减少参数的个数、刻画动点几何性质方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接，过渡，承前启后的作用。

学情分析

学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。因此本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1、能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2、引导学生通过设置参数，建立椭圆的参数方程，体会椭圆规的设计原理；3、能利用椭圆的参数方程解决有关的问题，椭圆的应用是本节的难点。教学过程设计

本节课采用“问题——探究”的教学过程，能够在每一个教学环节中设置问题，引导学生去解决问题。而学习探究的题目后面的提示是在学生还不能正确建立M点的坐标时给一定的启发，在多媒体屏幕上展示M点的动画，提示学生哪些量变化，哪些量保持不变，如何建立参数方程，在学生发现轨迹是椭圆时，让学生更清楚自己化简结果的准确性。思考题的设置便于学生对椭圆的参数方程有一个全面的理解，更加深刻的理解椭圆参数的几何意义，利用类比的思想，课后自己推到双曲线的参数方程。例1、主要是让学生准确掌握椭圆参数方程的形式以及椭圆参数方程与普通方程的互化；例2、说明椭圆的参数方程可使椭圆上点的坐标一元化，从而使复杂问题简单化，最值问题得以解决，提现参数方程的优越性；例3主要说明椭圆的参数 不是我们误认为的倾斜角，加深对参数的理解；例4主要从实际问题出发，选择参数，建立参数方程，运用所学的知识探究一个实际的轨迹问题，在探究的过程中进一步掌握椭圆的参数方程，以及如何将实际问题中的条件转化为数学模型，通过分析说明，建立参数方程，得到点M运行的轨迹为椭圆，从而说明椭圆规的设计原理是利用了椭圆的参数方程。

教学过程： 一、复习引入

（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：()22

2210x y a b a b +=>>

（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：()22

2210y x a b a b

+=>>

（3）圆()2220x y r r +=>的参数方程为：cos sin x r y r θ

θ

=⎧⎨

=⎩（θ为参数，02θπ≤<）

（4）圆()()

()22

2

0x a y b r r -+-=>的参数方程为：cos sin x a r y b r θ

θ=+⎧⎨

=+⎩

（θ为参数，02θπ≤<） 学习探究一：圆222

x y r +=的参数方程的推导过程

【设计意图】：通过复习焦点在x 轴、y 轴上的椭圆的标准方程和圆的参数方程引出本节课的主题：椭圆的参数方程，让学生模仿圆的参数方程的推导过程自己来推导椭圆的参数方程。 二、椭圆参数方程的推导

1、焦点在x 轴上的椭圆的参数方程：

因为2

2

1x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又22

cos sin 1ϕϕ+=；设cos sin x

a y b

ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，

（ϕ为参数，且02ϕπ≤<），（cos sin ϕϕ、的周期）这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[)0,2ϕπ∈。

2、焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：22

22cos 1sin x b x y y a b a ϕϕ=⎧+=⇒⎨=⎩

（ϕ为参数）。

知识点小结：

（1）在椭圆的参数方程中，常数a b 、分别是椭圆的长半轴长和短半轴长；（其中0a b >>）

（2）焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为：cos sin x a y b ϕ

ϕ=⎧⎨=⎩

（ϕ为参数，且02ϕπ≤<）；

焦点在y 轴上的椭圆的参数方程为：22

22cos 1sin x b x y y a b a ϕϕ

=⎧+=⇒⎨=⎩（ϕ为参数，02ϕπ≤<）。

【设计意图】：让学生推导出焦点在x 轴上的椭圆的参数方程，类比写出焦点在y 轴上的椭圆的参数方程，总

结在椭圆的参数方程中，常数a b 、的含义。

三、椭圆参数方程的应用

例1：普通方程与参数方程的互化（学生口答）

（1）22110036x y += （2）2

2116y x += （3）[0,2)8cos 10sin x y ϕπϕϕ⎧∈⎨⎩== （4）cos [0,2)1sin 3

x y ϕϕπϕ=⎧⎪

∈⎨=⎪

⎩

【设计意图】：让学生口答椭圆的参数方程与普通方程的互化，加深对椭圆参数方程的理解与认识。

例2：已知椭圆22

:194

x y C +=，求： （1）椭圆C 的内接矩形面积的最大值；

（2）若(),P x y 是椭圆C 上任意一点，求=+2z x y 的最值；

（3）若点M 是椭圆C 上的任意一点，求点M 到直线2100x y +-=距离的最小值，并求出此时M 的坐标。 【设计意图】：在学生熟悉椭圆的普通方程的基础上，利用椭圆的参数方程来求解。如果直接设M 的坐标(),x y ， 则所求的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量，但表达式比较复杂，而利用参数方程来解，只有一个参变量，可以简化表达式，学生可以感受曲线的参数方程在代数“消元”中具有重要作用，体现了参数方程的优越性。

例3、P 是椭圆4cos 23x y θ

θ

=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02θπ≤<）上一点，且在第一象限，OP （O 为原点）的倾斜

角为

3

π

，则点P 的坐标为（ ） A) ()2,3 B) 445,1555 C) (23,3D) ()4,3 【设计意图】：本例主要说明椭圆参数方程中的参数θ并不是我们想当然认为的OP 的倾斜角，挑选易犯错的学生来回答本问题，刚开始为不完整解答，讲完例4之后再给出本例的完整解答过程。 学习探究二：

例4：下图是用来画某种曲线的一种器械。它的构造如图所示：在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块,A B , 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一条曲线，试指出这种曲线的类型并能说明它的构造原理（提示：可以用直尺AB 和横槽所成的角为参数，求出点M 的轨迹的参数方程）。

⊗

⊗

*

A

B

M