高斯积分法及其应用

§4-4 高斯积分法及其应用

由§4-3知，在计算空间等参数单元的载荷列阵及刚度矩阵时，需用到如下形式的定积分： ηξηξd d f ⎰⎰--111

1),(； ζηξζηξd d d f ⎰⎰⎰---111111),,(

其中被积分函数f(ξ，η，ζ)一般是很复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函数的定积分。

数值积分：在积分区域内按一定规则选出一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ，η，ζ)在这些积分点处的值，然后再乘以相应的加权系数并求和，作为近似的积分值。

数值积分的方法有多种，其中高斯积分法可以用相同的积分点数达到较高的精度，或者说用较少的积分数达到同样的精度。

一、高斯积分法

1．一维积分的高斯公式

一维积分的高斯公式

∑⎰=-=n

i i i f H d f 11

1)()(ξξξ (4-47)

其中f(ξi)是被积函数在积分点ξi 处的数值，Hi 为加数系数，n 为积分点数目。

可以证明，

对于n 个积分点，只要选取适当的加数系数及积分点位置，能够使(4-47)式在被积分函数为不超过(2n-1)次多项式时精确成立。

由于多数函数可表示成多项式形式，这种积分适应于大多数函数。

例如，

n=1时

)()(111

1ξξξf H d f I ==⎰- (a) 不论f(ξ)的次数是0还是1，只需取H １=2，ξ１＝０，上式均是精确成立的。因为

ξξ10)(C C f += (b)

1

01()22(0)I f d C f ξξ-===•⎰ (c) 当n=2时，能保证(4-47)式精确成立所允许的多项式的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为 332210)(ξξξξC C C C f +++= (d)

其精确积分为

20113

22)(C C d f I +==⎰-ξξ (e) 数值积分为

)()()

()()(323222102313212101221121

ξξξξξξξξξC C C C H C C C C H f H f H f H I i i i +++++++=+==∑= (f)

为了在C0～C3取任意值(包括取零值在内)时公式(f)是精确的，显然应有

221=+H H ， 02211=+ξξH H

3

2222211=

+ξξH H ， 0322311=+ξξH H 所以，应取 2,269,350,577.031

21-=-=-=ξξ

0,000,000,000.121==H H

同样，对于不超过五次的多项式，只要取

n=3

130.577,350,269,2ξξ=-==- 0,000,000,000.02=ξ

6,555,555,555.09521==

=H H 9,888,888,888.09

83==H 即可保证得到精确的积分值。

对于n=1到n=6时，高斯求积公式中积分点坐标ξi 及加权系 Hi 的数值列于表4-1。 表3-1 高斯求积公式积分点坐标与加权系数

2．二维积分的高斯公式

以一维高斯积分公式(4-47)为基础，极易导出二维及三维公式。求二维重积分

ηξηξd d f ⎰⎰

--1111),( 的数值时，可以先对ξ进行积分，这时将η当作常量，于是由(4-47)式得到 )(),(),(111ηϕηξξηξ==∑⎰

=-n i i i f H d f (g) 再对η进行积分，得出 ∑⎰=-=m

j j j H d 11

1)()(ηϕηηϕ (h)

将式(g)代入，即得

∑∑⎰⎰

==--=m j n i j i i j f H H d d f 111111),(),(ηξηξηξ 或改写为 ∑∑⎰⎰==--=n i m

j j i j i f H H d d f 11111

1),(),(ηξηξηξ (4-48)

这就是二维的高斯积分公式。

3．三维积分的高斯公式

同样，可以求得三维高斯积分公式：

∑∑∑⎰⎰⎰===---=n i m j l

k k j i k j i f H H H d d d f 11111111

1),,(),,(ζηξζηξζηξ (4-49)

式(4-48)及(4-49)中的n ，m ，l 是分别关于变量ξ，η，ζ的积分点数目。

各个维数上的积分点数目由各个自变量在被积函数中可能出现的最高次数分别决定，一般并不要求相同。但为应用方便，常常在各个方向取相同的积分数，即统一为最高值

∑∑⎰⎰

==--=n i n j j i j i f H H d d f 111111),(),(ηξηξηξ (4-48a) ∑∑∑⎰⎰⎰===---=n i n j n

k k j i k j i f H H H d d d f 111111

111),,(),,(ζηξζηξζηξ (4-49a)

由前面的推导可见，当在每个方向取n 个积分点时，只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n -1，则用高斯求积公式求得的积分值是完全精确的。

反过来，对于m 次多项式的被积函数，为了积分值完全精确，积分点的数目必须取21+≥m n 。

二、合适积分点数的确定

在空间等参数单元分析中，计算节点载荷及刚度矩阵时要用到高斯积分公式，下面以20节点的等参数单元（二次）为例，来探讨一下相应公式中积分点的数目。

这直接关系到收敛性、计算精度和计算时长。

1．分布体力

★分布体力的等效节点载荷列阵计算见公式(4-35)，即

{}{}⎰⎰⎰---=111111][ζηξd d d J P N R T e (4-35)

由式(4-16)可见，形函数Ni 对每个局部坐标来说，一般都是二次式，因而在T N ][元素中，每

个局部坐标都可能以二次幂出现，同时，由(4-15)式又知，在整体坐标的表达式中，每个局部坐标也都可能以二次幂出现。

根据(4-21)式，在J 中每个局部坐标可能出现的次数是5。

据此，当体力分量为常量时(例如体力为均质单元自重)，(4-35)式中的被积函数对于每个局部坐标来说，可能出现的最高幂次是m=5+2=7。为了使积分值完全精确，每个坐标方向积分点的数目应为4)1(21=+≥

m n 。对于三维积分，其积分点总数应为43=64个。