高等数学第十章无穷级数小结

部分和数列： Sn = ui = u1 u2 un
i =1 n
敛散性： 若
n
lim Sn = S ,
n =1
则称 un 收敛， 且称S 为其和
n =1

记为
n
S = un = u1 u2 u3 un
若 lim Sn极限不存在，则为发散

1.
n =1
un(Baidu Nhomakorabean > 0)收敛 部分和数列有界


2. 比较判别法： un ( un > 0)、 vn ( n > 0), un vn ,
则

v n 收敛 n =1

n =1
un 收敛 un n =1
n =1



n =1

发散
v n 发散 n =1

3.

| u
n =1

n
| 发散 un 发散
n =1

补充定理 如果任意项级数
u
n =1

n
= u1 u2 un
un 1 lim =l n un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛，当l > 1时级数发散
定理（Dirichelet判别法）
n
若 (1) lim an = 0, 且{an }单调； ( 2) { bi }有界；
级数的基本性质(四则运算法则)

n =1
性质1 若级数 an 收敛 , 常数c 0 , 则级数 can 也收敛,

且
ca
n =1
n
=c an 若
n =1

a
n =1
n
发散 , c 0 , 则 can 也发散。
n =1
n =1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质 2 设两收敛级数s = a n , = bn ,
4 (D'Alembert)（比值判别法）
设正项 级数 un , 且 lim
n =1
n
un 1 =l un
则
(1)
时 收敛 l <1 （含0）
( 2) l > 1 时 发散 （含）
注意:
1.比值 审敛法比较 适合 a n 及n!
2.当l = 1时，失效
5 Cauchy 判别法 （根值判别法）
un =l 比较法极限形式： un ( un > 0)、 vn ( n > 0), lim v n n n =1

n =1
v n 具有相同的 敛散性 则 0 < l < 时， un、 n =1 n =1 特殊 情况 u u ( 2 ) lim n = , 相当于 un > vn (1) lim n = 0, 相当于 un < vn n v n v n n
设正项 级数 un , 且 lim
n =1
n
n
un = , 则
(1) < 1 时 收敛 （含0）
时 发散 ( 2) > 1 （含）
n 根值审敛法比较适合 a 注意： 当 = 1时，失效
交错级数： 设un > 0， ( 1)
n =1

n 1
un 或 ( 1)n un
n =1

n 1 若 ( 1 ) un 满足 交错级数判别法（Leibniz 判别法) n =1

(1)un > 0
un = 0 (2) un un1 (3) lim n
则其 收敛, 且和 s u1 ;
注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散 绝对收敛： 若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n =1 n =1 n =1
un un 性质 3 若级数 n =1 收敛(发散),则 n = k 1 也收


敛（发散）( k 1) .且其逆命题也成立.
结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
i =1
n
则 ak bk收敛。
k =1

定理（Abel判别法） 若（1） an 为单调有界数列， (2)
则 ak bk收敛。
k =1
b 收敛，
k =1 k

判断级数 an 的敛散性
n =1

lim an = 0 ?
n
常用来证明级数发散
例如
n =1

n =1
(1)

n 1
n 1 2 3 n 1 n = (1) n1 2 3 4 n1
2.必要条件而非充分条件.
1 1 =0 n 发散，但 nlim n n =1
正项级数审敛法
若 un > 0, 则称
un 是正项 级数 n =1
n =1 n =1
条件收敛： 若 un 发散， un收敛，则称 un条件收敛
n =1 n =1 n =1



关系：
若 un 收敛, 则 un 收敛
n =1
n =1


结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛
注意:
| u
n =1

n
|收 敛 收 敛 un
n =1
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
推论 如果加括号后所成的级数发散,则 原来级数也发散.
性质5

级数收敛的必要条件:
n =1
lim u = 0. u 收敛 n n n
结论：当n无限增大时, 它的一般项 un 趋于零,
注意 1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零 , 则级数发散; lim un 0 un发散
则级数
( a n ±bn )收敛,其和为s ± .
n =1
n =1 n =1 n =1

n =1
n =1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
注意
(1) 若 an 及 bn 都发散 , (an bn ) 未必发散。

(2) 若 an 收敛 , bn发散， 肯定发散。 (an bn )
无穷级数(简称级数): 设给定 数列 u1 , u2 ,un , 由其 构成的 和的表达式 un = u1 u2 un
n =1
常数项级数：若 un = 常数
函数项级数：若 un为函数u（ n x）
幂级数：若 un = an x n , 或un = an ( x x0 )n 形式