非线性系统的分析(1)

Ⅱ区 e
2
，
1
A
-1
1
-1
-2
Ⅰ区
e
23
1、系统的相轨迹收敛于A点， 是稳定的，奇点为稳定焦点。
e是单调衰减的。
2、相轨迹最后没有到达原
点，即 lime(t) 0 ，说明 t
系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是Ⅰ型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。
而且与初始状态有关。
２、系统的自持振荡 非线性系统即使无外界作用，也可能会发生
某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入 信号下系统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通 用的方法来处理各种非线性问题。
二、非线性系统的相平面分析
借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面 图。
例1：有死区继电器非线性的系统框图如下
r 常数 e
＋
1 -1
1 -1
y
1 S(S 1)
C
系统线性部分的传递函数 G(S) 1 ，该二阶系统的无
S(S 1)
阻尼自然振荡角频率n 1rad / ，s 阻尼比 0.5，根据
第七章 非线性系统的分析
7-1 非线性系统的基本概念
一、非线性系统基本概念
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性
微分方程描述。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，
由非线性微分方程描述。
非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。
本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
输出
输入
输出 输出
具有饱和死区的 单值继电器
输出
输入
输入
具有滞环的继电器
输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
具有死区和滞环的继电器的数学表达式
y
M
a ma
ma a
x
M
0 y(t ) M0sgn x(t )
M M
m a x(t ) a , x (t ) 0 a x(t ) m a , x (t ) 0
2、欠阻尼运动 (0 1)
jω
λ1 ×
0
λ2 ×
x
x
系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于 原点。奇点称为稳定焦点。
3、过阻尼运动 ( 1)
jω
×
×
λ2 λ1 0
x
x
系统的自由运动是非周期地收敛。相轨迹是趋于原点的抛物 线，原点是奇点，称为稳定节点。
4、 (-1 0)
2、饱和特性
输出
y(t )
k
x(t)
x(t) a
ka sgn x(t) x(t) a
输入 特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。
饱和特性对系统性能的影响： 使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了 稳态精度。
前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。
继电器的输入－输出关系为
1, y f (e) 0,
e 1; 1 e 1;
1, e 1.
在 e e
平面，根据继电器的
非线性特性，可分为三个区域， Ⅲ区
设初始状态 e(0) 3 e(0) ，0
绘制相轨迹如图所示，(设r=3)
根据系统的相轨迹，可对 系统的性能分析如下：
3、间隙特性（回环） 输入输出之间具有多值关系
输出
kx(t) a
输入
y(t) kx(t) a
c sgn x(t)
y(t) 0 y(t) 0 y(t) 0
齿轮传动中的齿隙、铁磁元件的磁滞现象等。 间隙特性对系统性能的影响： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏
4、继电器特性 理想继电器
二、典型非线性特性
1、死区特性 （不灵敏区特性）
输出
y(t
)
0
kx(t
)
a
sgn
x(t
)
输入
x(t) a x(t) a
特征：当输入信号在零值附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。
测量、放大元件的不灵敏区；调节器和执行机构的死区 等等。
对系统性能的影响：死区非线性特性导致系统产生 稳态误差，且用提高增量的方法也无法消除。
x (t ) a x(t ) m a , x (t ) 0 x(t ) m a , x (t ) 0
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其 他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的 综合效果
三、非线性系统的特点
１、系统的稳定性 非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，
以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。
当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动
轨迹称为相平面轨迹，简称相轨迹。
相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然 是平衡点。
一、线性二阶系统奇点的类型
线性二阶系统的齐次微分方程为：
x 2 n x n2 x 0
相平面图是在 x x
平面中，x绘, 制x
随时间t
变化的轨迹，称为相轨迹。相轨迹的(x起(0点), x(0))
是
。
dx 0 奇点是指 dx 0
的点。根据奇点附近相轨迹的特
征，奇点
有不同名称，据此可判断系统运动的性质。
1、无阻尼运动 ( 0)
二阶系统的极点分布和相平面图如下：
jω
x
λ1 ×
0
λ2 ×
0
x
无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个 椭圆代表一个简谐运动。在相平面原点有一孤立奇点，称为 中心点。
jω
×
Hale Waihona Puke Baidu
0
×
x
x
系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是以原点出发的螺旋线， 原点处的奇点称为不稳定焦点。
5、 ( 1)
jω
×
×
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
6、 , 12
为一正一负两实根
jω
x
×
λ1
0
×
λ2
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
对非线性系统分析研究的重点是： （1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡； （3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅； （4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
7-2 相平面分析法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的 准确方法。
描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一 阶微分方程描述：
x1 x2 x2 f ( x1, x2 )