第二章 光纤传输机理的光线理论分析—1

(2.2)
通常称
max
为“孔径角”，并定义光纤的数值孔径为
NA n0 sin max
n n
2 1
2 2
(2.3)
NA是阶跃多模光纤的一个重要参数，它表示光纤集光能力的大 max 即为光纤端面处能 小，亦即能进人光纤的光通量的多少。 激发出导波的最大入射角，又称“接收角”。数值孔径NA在一 定程度上反映了光纤是否容易被激发、是否容易进行光束祸合 的性质。
sin max
D /2 1 1 0.551 f ' 2(f '/ D ) 2 0.91
因而应有对应透镜的光圈数了f‘/D为 0. 91，或其相对孔径D/f’为1. 11。显 然，对透镜性能的设计要求已很高了。
图2.2 光纤数值孔径 n1/n2关系曲线
然而应该指出，上述有关数值孔径的概念与规律，主要是 针对多模光纤而言的;对于单模光纤，由于一般芯径 2a<8~10um，光线光学不能解释其可能产生的干涉等现象， 因而数值孔径的概念实际已不存在，而是采用模斑直径来反 映其光场特性。 有时仅为形象类比而借用此名称，但并不能表征其实际接 收角的大小，一般单模光纤的数值孔径约为0.1的数量级
第2章 光纤传输机理的光线理论分析
研究分析光波导的传光机理有两种方法:波动理论方法即求 解波动方程，进行模式分析，这种方法可获得精确的解析或 数值结果;光线理论方法即将光视为射线，利用光线的反射、 折射原理解释光在光纤中的传播规律与物理现象。本章将介 绍的光线理论分析方法具有物理图像简明、直观的优点，目 前仍是分析研究光波导中传输规律与特性的一种重要手段。
(2.9)
长度为L的光纤总反射次数为
Q L qm
L n0 sin
2a n n sin
2 1 2 0 2
(2.10)
上式表明，光纤中的总反射次数除与n1 , α有关外，还与光纤 长度L成正比，而与光纤芯径2a成反比。 (3)子午光线传播的时延差与模间色散分析 色散特性是光纤最重要的传输特性之一，也是对长距离光纤 通信最重要的影响因索。由于色散将使光纤中传输的模拟信号 或脉冲数字信号发生畸变，最终导致接收端的脉冲展宽，影响 光纤传输信息的容量。光纤中影响产生色散的因索包括:模间 色散，波导色散和材料色散。对于阶跃多模光纤，光纤中传输 多种模式，其模间色散或称多模色散引起的脉冲展宽占色散总 量影响中最重要的数量级。
根据上述定义，显然仅当满足 max 的端面入射光线才能在 阶跃光纤中得到传播;而大于 max 的端面人射光线，在芯与包层 界面将发生部分折射，进入包层，并且能量将很快损耗，因而 max 的任意光线 不能在光纤中传播。从光波导的观点看， 对应于相应的传导模;与最大入射角 max —全反射临界角 c 相 对应的则是多模光纤中的最高阶传导模;而 max ( c ) 的光线，在界面将产生部分折射，因而对应于辐射模。
为了求取长度为L光纤中的反射次数，应首先确定光纤中相邻 两次反射的间隔 L0 ：
L0 2a cot ' 2a
2 n12 n0 sin2 n0 sin
(2.8)
单位光纤长度的反射次数为
qm
n0 sin 1 tan ' 2 L0 2a 2a n12 n0 sin 2
2. 1光在阶跃型圆柱光纤中的传播规律
本节将运用光线光学的方法，依次研究分析在理想的阶跃型 直圆柱光纤中子午光线与空间光线，以及存在形状偏差的阶跃 型圆柱光纤中子午光线的传播规律。这里所研究的阶跃光纤主 要针对多模光纤。
2.1.1光在理想阶跃型直圆柱光纤中的传播规律
研究理想的阶跃型直圆柱光纤是指，不考虑透明介质本身的 吸收损耗、纤芯与包层界面上全反射不完全而产生的反射损耗 以及端面上的菲涅耳反射损耗等因索，即将光纤视为没有能量 损耗的理想介质来研究。
以光通信中常用的脉码调制为例，多模色散是指发射端由脉 冲同时激励起的多种传输模式，由于各种模的群速度不同，因 而不同模式到达接收端的时刻不同，从而产生脉冲展宽的现象。 用光线光学做定性概略分析可以认为，光纤中每一条实际传播 的子午光线代表一种电磁场分布的模式。由于芯中折射率均匀 分布，不同光线传播的速度虽然相同，然而不同α（θ）角的光 线经历的光路不同，其沿轴向平均速度不同，因而最终到达光 纤出射端所需的时间也不同。不同模式间的时延差只取决于不 同光线间的光路程差。其中，最大的时延差由 的最大孔 max 径角人射光线与α=0的沿轴向入射光线决定(如图2. 1所示)。 当 α=0 ，则有
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L z max
Ln1 c / n1 c L
（2.11）
当
max ，应有
L z min

tmax
L
' ( ) cos max
c n1

L
( ) sin c
c n1
Ln12 cn2
（2.12）
z max 、 z min 上两式中，c为真空中光速，L为光纤沿z向的长度， 分别为沿轴向的最大和最小平均速度。由上两式可得到沿单位 长度阶跃多模光纤传播所产生的最大时延差(亦即脉冲展宽)应 为
(4)光纤的透射特性 光纤的透射性能是其重要的传输性能指标之一，通常以透过 率表示。定义透过率为光纤的输出光通量(以I表示)与输入光通 量(以I。表示)之比，表为下式:
I T I0
（2.14）
图2.3 菲涅尔反射系数 与端 面入射角关系
对于理想状态的单根光纤，影响其透过率 降低，即造成其损耗的主要因索有:光纤端 面上的菲涅耳反射损失，纤芯与包层界面 上的全反射损失，纤芯材料的吸收损失。 ①光纤端面上的菲涅耳反射损失。光从 空气中人射到光纤端面上，将有一部分光 能量被界面反射而损失，此即菲涅耳反射 损失。菲涅耳反射损失系数与光线人射角 有关，如图2. 3所示。图中表明，在入射 角α=0即垂直人射的条件下，反射损失最 小;随着入射角增大，反射损失逐渐增大。
(2)子午光线在光纤中的光路长度与全反射次数 子午光线在阶跃光纤中传播的轨迹为一平面折线，其实际的 光路长度大于光纤长度。为求长度为L的光纤中子午光线的光 路长度，必须首先求取单位光纤长度的光路长度lm ,lm 可按 (2.6)式计算(参见图2.1)
AB 1 lm sec ' AC 1 sin2 '
本章的主要内容是，利用光线理论分析两种主要类型光学纤维 的传光机理与主要特性，其中包括:
①利用全反射原理研究光在阶跃型多模光纤(纤芯与包层折射 率均匀分布、n1> n2的反射型光纤)中的传播规律与光纤的性能 参数;
②用光线理论研究渐变折射率光纤(具有梯度折射率分布的折 射型光纤)中光的传播规律与折射率分布的关系。在此基础上分 析自聚焦光纤与透镜的性能。
当芯与包层折射率n1、n2差值很小时，(2. 3)式经变换可表为
2 n12 n2 n1 n2 NA n1 2 n1 2 n1 2 2 n1 2n1
(2.4)
n1 n2 n1
(2.5)
式中，△称为相对折射率差。当△《1时，则称这种芯与包层 折射率差值很小的光波导为“弱导光波导”(weakly guiding optical waveguide)。一般，对标准的石英阶跃多模光纤与渐变 折射率多模光纤， 而对阶跃单模光纤， 。 0.3% 1%
tmax
Ln12 Ln1 Ln1 n1 n2 Ln1 t0 t0 cn2 c c n2 c
（2.13）
上式即可用于概略分析多模光纤因模间色散引起的最大脉冲展 宽，这种模间色散、脉冲展宽降低了波导传输的信息容量。显 然，时延差:与芯和包层间的相对折射率差△成正比，△越小， 则时延差越小，即色散越小。为此，采用减小△值，即制造 “弱导光纤”，即可实现低色散。为分析方便，引人单位长度 / L (t0 ) / L (t0 / L) 光纤的色散与脉冲展宽 ，以 时， t0 / L n1 / c 5s / km 表示。例如，若n1=1.5 ，则 ，当△=1% =50 ns/km。即每千米的时延差为50 ns，其色散值已很大，相 应的传输带宽为20 MHz· km；而若Δ= 3%时，则 =15 ns/km， 其色散值减小，相应的传输带宽为66.67MHz· km。
n1 n n sin
2 1 2 0 2
(2.6)
式中lm 为无量纲数。上式表明，当n1,n0(通常在空气中为1)确 lm 只取决于端面的入射角α，而与光纤的芯径2a无关。 定时，
长度为L的光纤的子午光线实际光路长度为
S L lm
n1L
2 n12 n0 sin2
(2.7)
n1 n1 n1 n1 ' 2 sin sin sin( ) cos 1 sin n0 n0 2 n0 n0
与界面全反射临界角c 相对应的光纤端面轴心A点处最大入射 角应为
max
n1 1 2 2 2 arcsin 1 sin c arcsin n1 n2 n0 n0
另外，脉冲展宽的大小除与光纤的色散特性有关外，还与传 输的距离有关。对一段光纤传输线，实际可用的频带宽度或 数码率，受到相邻两个再生站间距离的限制。因而，从对最 终光纤信息承载容量的影响分析，只提频带宽度是不全面的， 而应用带宽长度乘积(例如MHz· km或GHz· km)表示。 还应指出，上述对多模光纤模间色散、脉冲展宽的分析还仅 限于子午光线，对更大量的空间光线尚未考虑。正是由于阶 跃多模光纤的色散严重，限制了带宽，因而在光纤与光通信 的发展中，陆续兴起了渐变折射率多模光纤和阶跃单模光纤 (详见尔后分析)。
应该指出，将光视为“光线”来处理问题是一种视λ 0 的近 似方法，只在所讨论对象的几何尺度远大于光的波长因而可忽 略衍射效应时才是有效的。因而，用光线理论分析阶跃折射率 分布的多模光纤具有良好的近似程度;用于分析梯度折射率分布 的多模光纤，近似程度较差;而对单模光纤(其直径仅为几个波长 的数量级)则完全不适用。
芯层与包层发生投射的全反射角为
n2 c arcsin n1
(2.1)
由于n1、n2相对差值很小，因而大多数光纤的全反射临界角 o o 70 : 80 在 以上。
c
图2.1 理想阶跃型光纤子午光线传播规律
若光纤位于 n0 介质中，对应于界面B点发生全反射(投射角 c 时端面A点处的人射角 应为
因而，改变n1、n2配比，调整△值，可以获得具有较大数值孔 径动态范围的各种类型光纤(参见表2. 1和图2. 2 )，并且能获得 大的数值孔径是多模光纤的一显著特点。但应指出，在使△值 增大提高NA值的同时，也带来多模光纤中模间色散增大的负面 效应。
计算举例:计算与光纤具有相同 数值孔径0. 551的透镜的光圈数 (或相对孔径值)
1.理想阶跃型光纤中子午光线的传播规律与特性 (1)子午光线的全反射与数值孔径 圆柱光纤中通过光纤中心轴线的任何平面均为子午面，位于 子午面内的子午光线投射到芯与包层界面上，当满足全反射条 件时(n1>n2 , c , c 为全反射临界角)，则发生依次的全反 射，其轨迹为子午面内的平面折线，且在一个周期内与芯轴相 交两次，如图2. 1所示。
(2.4)式表明，光纤的数值孔径主要取决于纤芯与包层的相对 折射率差值△，即只与芯及包层材料的折射率有关，而与光纤 芯及包层的几何尺寸(直径)无关。因此，光纤可以制成数值孔径 很大而直径很细，从而实现其结构细长、具有柔性、可弯曲的 D ( 特点。光纤的数值孔径与透镜的相对孔径 f ' ) 具有相同的物理 概念，即都是表示集光能力的强弱;然而，两者大小所取决的结 构因索有本质差别:前者只取决于n1、n2的相对折射率差值，而 后者则取决于透镜日径大小与焦距的比值。调整相对折射率差 值△，可以显著地改变光纤的数值孔径。