高数A第7章课件：第七章习题课1
习 题 课
一、填空题
1．设C 为闭曲线2=+y x ，取逆时针方向，则=+?∫C y
x bydx axdy ___。 2．设为平面Σ4=++z y x 被圆柱截下的有限限部分，则122=+y x ∫∫Σ
=zdS ___。
3．设具有连续导数，且，C 为半圆周)(u f ∫=4
04)(du u f 22x x y ?=，起点为，终点为，则___。 )0,0(A )0,2(B =+∫C
ydy )+xdx y x f )((22二、解答题
1．计算曲线积分，其中C 曲线上从到的一段。
dy y xe dx xy e I y C
y )cos ()12(?+?=∫2x y =)1 ,1(?A )1 ,1(B 2．求dy y x y
x dx y x y x I C 2222++++?=∫，其中C 从点)0 ,(a A ?经上半椭圆)0(122
22≥=+y b y a x 到达点的弧段，且)0 ,(a B a b <<0。
3．计算曲线积分∫++?C y x xdy
ydx 224，其中C 是由点经半圆周)0,1(A 21x y ?=到点
再沿直线)0,1(?B 1?=+y x 到点的路径。
)2,1(?E 4．设曲线积分与路径无关，其中dy x y dx xy C
)(2?+∫)(x ?具有连续导数，且， 0)0(=?计算的值。
dy x y dx xy )()
1,1()0,0(2?+∫5．设函数在)(x f ),(+∞?∞),(b a 内具有一阶连续导数，L 是上半平面内有向分段光滑曲线,其起点为,终点为,记
)0(>y ),(d c dy xy f y y x dx xy f y y I L ]1)([)](1[122?++=∫
，
（1） 证明：曲线积分I 与路径无关；（2）当cd ab =时，求I 的值。 6．已知曲线积分)()(22为常数A A x y ydx
xdy C ≡?+?∫，
其中)(x ?的一阶导数连续，且， 1)1(=?C 是围绕原点一周的任一正向闭曲线，
（1）证明在任一不包含原点的单连通区域内，曲线积分∫?+?C x y ydx xdy )(22与路径无关；
（2）确定，并求A 的值。 )(x ?7．设，为连续可微函数，且0>x )(x f 2)1(=f ，对的任一闭曲线C ，有 0>x 0)(43=+∫C dy x xf ydx x ，求和积分)(x f ∫+)(3)(4AB C dy x xf ydx x 的值，其中AB 是由 )0,2(A 至的一段弧。
)3,3(B
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高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
高等数学第一章1
高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ]
7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2)
A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f
大一高数第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
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高等数学 第一章 函数与极限 第一节 函数 ●函数基础（高中函数部分相关知识）（▲▲▲） ●邻域（去心邻域）（▲） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
高数第七章无穷级数知识点
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数∑∞ =1 n n U ，满足 条件 l U U n n n =+∞→1 lim ： ?当1
推论：若∑∞ =1 n n U 与 ∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ?若+∞< 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○邻域（去心邻域） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=???? 2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X = 2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 极限存在准则及两个重要极限 ○夹逼准则 第一个重要极限：1sin lim 0=→x x x ∵?? ? ??∈?2, 0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0 000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===?? ??? （特别地，000 sin() lim 1x x x x x x →-=-） ○单调有界收敛准则 第二个重要极限：e x x x =?? ? ??+∞ →11lim （一般地，()() ()() lim lim lim g x g x f x f x =???????? ，其中 ()0lim >x f ） 【题型示例】求值：1 1232lim +∞→?? ? ??++x x x x 【求解示例】 ()()2111 212 1212 2121 1221 2 2121lim 212 21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞?++++??+++→∞ +→∞++→∞+++????? ?==+ ? ? ?+++?????? ? ???? ???=+=+ ? ???++?? ?? ? ? ? ?? ???=+ ???+???? 解：()()12lim 121 21212 121 22lim 121x x x x x x x x x e e e e +→∞?? ?+?? +??+→∞+→∞???+?? +?? +?? ? +? ? ==== 第四节 无穷小量与无穷大量 ○无穷小与无穷大的本质 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论 （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为 无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无 穷小，且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →???? ?（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；大一高数复习资料