二次函数与直线问题常见模型

二次函数与直线问题常见模型

一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形

模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，AB ⊥AC ，若有如下三个条件：①抛物线已知 ②AB 过定点，③BC 过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个

此题的方法主要是通过相似列出A,B,C 三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线BC 的解析式以及根与系数关系，来求解

已知抛物线解析式：2

y ax bx c =++， 请同学们完成以下化简：

c A y y -= c A

c A y y x x -=-

A B A B B A A B

x x x x

y y y y --=---

例1（2014年武汉中考第25题第三问）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝2

1

x 2交于A 、B 两点．若在抛物

线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．

例2（2016年武汉四调第24题第2问）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：52

1

2+-=x y 经过点C (2，3)，直线y

＝kx ＋b 与抛物线相交于A 、B 两点，∠ACB ＝90°，

② 猜想：我们猜想直线AB 必经过一个定点Q ，其坐标为 ．请取点B 的横坐标为n ，验证你的猜想；

练习1：已知抛物线2

12

y x =

.点P (-2，4)关于y 轴的对称点'P ，过'P 作直线EF 交抛物线于E 、F ，点H 在抛物线上一定点，且∠EHF =90°，求'P HO S ∆..

x

y

E

P'

O

F

H

2.已知抛物线y ＝x 2－1,抛物线交x 轴正半轴于A 点，M 、N 在抛物线上，MA ⊥NA ，试说明MN 恒过－定点，并求此定点的坐标．

3. （2016三寄宿中考模拟）已知抛物线21y ax =+与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线22y x =+仅有一个公共点．

（1）求A 、B 两点的坐标

（2）如图，作∠MBN=90°,交抛物线于M.N 两点，则直线MN 必过定点Q,求点Q 的坐标．

二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于x 轴的水平直线上

模型：如图，抛物线上有三点A 、B 、C ，若有如下：①A 定点（坐标已知） ②抛物线已知，③BC 直线k 已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个

抛物线解析式：2

y ax bx c =++ 直线BC ：y kx n =+

C A y y -=

A B

A B

y y x x -=-

C A C A

A C C A

y y y y x x x x --=---

例1（2014四调第25题第2问）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c 1：y ＝ax 2－4a ＋4 (a ＜0)经过第一象限内的定点P ．

（1）直接点P 的坐标 ； （2）（2）直线y ＝2x ＋b 与抛物线c 1在相交于A 、B 两点，如图1所示，直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、C 两点，当PD ＝PC 时，求a 的值；

x

y C

D

B

P

O

A

x

y

例2. （2016洪山区中考模拟一第24题第2问）已知抛物线y ＝(m －1)x 2

＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,若m ＞1，且点A 在点B 的左侧，OA ∶OB ＝1∶3. （1）试确定抛物线的解析式（解析式：13

2

312--=

x x y ） （2）直线3y kx =-与抛物线交于M 、N 两点，若△AMN 的内心在轴上，求k 的值。

练习1：已知抛物线上有A 、B 、C 、D 四点，且A 、D 关于

轴对称，直线

与抛物线相切，BC ∥DE ．求证：

AD 平分∠BAC

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2

-2ax-3与x 轴交于A 、B ，且AB=4，与y 轴交于C 点， （1）求抛物线的解析式：2

23y x x =--

（3）若平行于直线AC 的直线与抛物线交于M 、N 两点，若抛物线上存在一个定点D ，使过D 点且平行于x 轴的直线DE 平分∠MDN ，求D 点坐标和AD

CD

的值

3.如图，在直角坐标系中，二次函数y ＝x 2－4x 的顶点是C ，与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 的左边）点D 、E 同时从点B 出发，在抛物线上分别向左、向右移动，DM ⊥x 轴于M ，EN ⊥x 轴于N ．设BM ＝m （m ＜OB ），BN ＝n ，当m 、n 满足怎样的等量关系时，△ODE 的内心在x 轴上

三、直线与抛物线相交，交点与对称轴上一点组成的三角形（三点组成的三角形内心在对称轴上） 例1已知抛物线，点

、

为抛物线对称轴上两点，且

、

关于抛物线顶点对称，过

点任意作一条直线与

抛物线交于

两点，求证：抛物线对称轴平分

练习：1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2

9

3212+-=

x x y 交y 轴于点E ，C 为抛物线的顶点，直线AD ：y=kx+b （k ＞0）与抛物线相交于A ，D 两点（点D 在点A 的下方）.

练习2：（2015广雅二中中考模拟）已知抛物线C 1：y ＝－x 2

＋2x ＋c 经过x 轴上的点A ，与y 轴交于点B ，直线AB 的解析式为y

＝x －1，B 、C 关于x 轴对称，如图1 (1) 求抛物线的解析式

(2) 将抛物线C 1向上平移一个单位，再沿BA 方向平移，得到抛物线C 2，若抛物线C 2与线段AC 交于点E ，求AE

CE

的最小值 (3) 直线y ＝kx ＋b （k ＞0）与抛物线C 1交于M 、P 两点，交抛物线C 1对称轴于Q （Q 在x 轴下方），交x 轴于点D ，M 、N 两点

关于抛物线C 1的对称轴对称，NP 的延长线交抛物线的对称轴于G ，如图2，求证：DG ＝DQ

x

y

E

N

D

C B A

O

M

x

y

C

B

A O P

Q