第9章排队论解析

L nPn n (1 ) (1 ) n
n n 0 n 0 n 1



n 1
(1 )( n1 )
n 0

1 (1 )( ) 1 1 平均等待队长—系统平均等待的人数
Lq (n 1) Pn nPn Pn L (1 P0 )
t
运筹学
第九章 排队论
指数分布性质2
无后效性
P(T t t / T t ) P(T t t and T t ) P(T t ) P(T t t ) e (t t ) et et ( t ) t et P(T t ) P(T t ) e e


问题设定 平稳条件下的概率分布 基本参数 应用实例
运筹学
第九章 排队论
问题设定



到达是最简单流 服务时间是负指数分布 一个服务台 顾客来源为无穷 系统容量为无穷
运筹学
第九章 排队论
概率分布

生灭过程: n = , n=
P1 P0
Pn 1

P2 P0 2 p0
运 筹 学
山东财经大学
运筹学
第九章 排队论
排
1 2 3
队
论
随机服务系统 M/M/1系统
M/M/c系统
M/M/1/k系统
4
运筹学
第九章 排队论
随机服务系统
1 2
问题与实例 基本构成 描述方法 评价方法
3 4
5
概率分布和生灭过程
运筹学
第九章 排队论
问题与实例

服务行业—理发店、银行储蓄所、专家门诊、收银台等 顾客到达 进入 排队 离 开
如果随机事件到达时间间隔相互独立并且服从同 一负指数分布则随机事件流为最简单流

运筹学
第九章 排队论
定理 对于一个参数为的Poisson流，在[0，t） 内到达k个顾客的概率为
(t ) t p k (t) e k!
k
k 0,1,2
0
运筹学
第九章 排队论
生灭过程
随机事件的发生与消失、增加与减少或者系统 的变化经过---随机过程
系统人数：某时刻系统内顾客的数量。 N(t)=在时间 t 系统中顾客的数量。 Pn(t)=在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 接受服务的人数 cn(t)=工作的服务台数目。
排队长度：等待服务的顾客的数量。
N(t)- cn(t)
运筹学
第九章 排队论
稳定状态
系统人数：稳定状态下系统内顾客的数量。 N=系统中顾客的数量。 Pn=排队系统中恰好有n个顾客的概率。 接受服务的人数 cn=工作的服务台数目。
运筹学
第九章 排队论
Kendall 记号
•以到达时间间隔的概率分布表示到达规律 •以服务时间的概率分布表示服务规律 •按下列顺序描述 到达规律/服务规律/服务台数/系统容量/顾客来源/排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 G: 独立的概率分布 (任意概率分布)
P( a) 1
分布函数
0, t a F (t ) P( t ) 1, t a
E ( )
数学期望（均值）
0

tdF (t ) a
运筹学
第九章 排队论
指数分布
随机变量 T 均值 方差
密度函数
et fT (t ) 0
分布函数
for t 0 for t 0
多队排列，各自服务
运筹学
第九章 排队论
服务

服务时间 服务台数量 单服务台
多服务台
运筹学
第九章 排队论
描述方案
排队系统
输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
顾客来源--总体数量 顾客到达规律--时间间隔分布 系统容量--允许的最大顾客容量 排队规则 服务台数目 服务规律--时间分布
方案 固定费用/天 可变费用/天 装卸袋数/小时
甲 乙 丙
60 130 250
100 150 200
1000 2000 6000
运筹学
第九章 排队论
问题分析

分别算出每种方案的总费用，然后选出总费用最小 的方案。

总费用=固定费用+可变费用+停留费用 可变费用=每天可变费用*平均工作时间 停留费用=每车平均停留时间*车数*单位停留费用
公共行政服务系统
系统类型 城市热线 行政审批 顾客 市民 市民 服务台 热线电话 审批窗口
•服务对象数量非常多，不存在顾客走失，服务 人员比较少
运筹学
第九章 排队论
其他服务系统
系统类型 公路收费站 卡车装货地 港口卸货区 等待起飞的飞机 航班服务 出租车服务 电梯服务 停车场 急救车服务 顾客 汽车 卡车 轮船 飞机 人 人 人 汽车 人 服务台 收费员 装货工人 卸货工人 跑道 飞机 出租车 电梯 停车空间 急救车
运筹学
第九章 排队论
概率分布

生灭过程: n = , n= n , n=1,2,…,c; n= c,n=c+1,c+2,…
P1 P0
排队长度：等待服务的顾客的数量。
N- cn
运筹学
第九章 排队论
平均 参 数
平均队长： L
n 0
nPn
n 0

平均等待队长： Lq
平均等待时间
(n cn ) Pn

Wq
平均逗留时间 W
运筹学
第九章 排队论
常用记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到 达的顾客人数即是平均到达率） n = 系统有n个顾客时的平均到达率
运筹学
第九章 排队论
内部服务系统
系统类型 秘书服务 复印服务 大型计算机 传真服务 物料处理系统 维护系统 质检站 顾客 雇员 雇员 雇员 雇员 货物 设备 物件 服务台 秘书 复印机 计算机 传真机 物料处理单元 维修工人 质检员
•服务对象数量有限，不存在顾客走失，服务人员少
运筹学
第九章 排队论
运筹学
第九章 排队论
稳定状态

时间趋于无穷大时系统趋于稳定状态，此 时系统里有n个人的概率是固定的,记为Pn
0 P P0 1 1 0 1 P2 P0 1 2 0 n1 Pn P0 1 n
P
k 0

k
1
运筹学
第九章 排队论
M/M/1// 模型

n 1 n 1 n 1



2 1 1

运筹学
第九章 排队论
基本参数

平均等待时间—等待前面人员完成服务的时间
Wq


1
n 0

nPn
1
n 0
n n (1 )

(1 )

( )
平均滞留时间—等待时间加上接受服务时间


= 对任何n都是常数的平均到达率.
= 对任何n都是常数的平均到达率.
1/ = 期望到达间隔时间 1/ = 期望服务时间 = 服务强度， 或称使用因子, /(s)
运筹学
第九章 排队论
概率分布和生灭过程



均匀分布 负指数分布 最简单流 生灭过程
运筹学
第九章 排队论
均匀分布
随机变量为常值
服务过程
服务
离开
问题：如何设计服务系统使得： 损失的顾客尽量少 服务效率尽量高 运营成本尽量低
运筹学
第九章 排队论
商业服务系统
系统类型 管道服务 电影院售票窗口 机场检票处 经纪人服务 顾客 阻塞的管道 人 人 人 服务台 管道工 售票员 航空公司代理人 股票经纪人
•顾客来源数量庞大，存在顾客走失，服务人员多
运筹学
第九章 排队论
½ ° ² ¸ ³ Ü ² Ñ Ó Ã
400 300 200 100 0
½ ° ² ¸ ¼ ³
½ ° ² ¸ Ò
½ ° ² ¸ ± û
运筹学
第九章 排队论
M/M/c// 模型


问题设定 概率分布 基本参数
运筹学
第九章 排队论
问题设定



到达是最简单流 服务时间是负指数分布 c个服务台 顾客来源为无穷 系统容量为无穷
进入 离开
系 统
※问题：某一时刻系统的状态或某一时刻系 统的顾客数？
运筹学
第九章 排队论
在t时刻系统有n个顾客若在t 时间内变成： 1.n+1个的概率为n t+o(t) ； 2. n-1个的概率为n t+o(t) ； 3.改变超过1个的概率为o(t)； 则称该变化过程为生灭过程。 ※若到达是最简单流，服务时间是负指数分布 则排队系统是个生灭过程
½ ° ² ¸ ¼ ³ ½ ²° ¸ Ò ² ½ ° ¸ ± û 1.5 1.5 1.5 =15/10 2 4 12 =卸货量/500 1 2 0.4 0.0952 300 60 14.286 =停留时间*15*10 0.75 0.375 0.125 =1-P0 75 56.25 25 =天可变费用* 435 246.25 289.29 忙的概率
运筹学
第九章 排队论
评估方法


评价指标 系统状态 稳定状态 平均参数 常用记号
运筹学
第九章 排队论
系统评价指标



顾客---服务质量 排队的时间 滞留时间 排队的人数 滞留人数 系统—效率和成本 系统忙的概率 忙的服务台个数 稳定状态下平均意义的指标
运筹学
第九章 排队论
系统状态
P(T t t / T t ) P(T t )
不管多长时间(t)已经过去， 逗留时间的概率分布与下 一个事件的相同.
运筹学
第九章 排队论
最简单流

随机事件序列—随机流
※主要的问题：考虑某一时段里事件发生的 次数或到达的个数
运筹学
第九章 排队论
最简单流性质



平稳性—出现事件的次数与起点无关只与时间长短 有关 无后效性—某时间内出现k个事件的概率与之前发 生的次数无关 普通性—在足够小的时间里发生2个以上事件的概 率是无穷小量
1 1 W Wq ( )
1

工作强度—平均忙的概率
1 P0 1 (1 )
运筹学
第九章 排队论
Little公式
L W
Lq Wq
运筹学
第九章 排队论
设备选择问题


在某货场卸货台装卸设备的设计方案种，有三个方案可供选 择，分别记为甲乙丙。每个方案的有关费用见下表。 货车到达为最简单流，平均每天（按10 小时计算）到达15 车，平均每车装货500袋，卸货时间服从负指数分布。每辆 车停留1小时的损失为10元。 问应如何选择使得总费用最小？
运筹学
第九章 排队论
Æ ù ½ ¾ Ã ¿ Ð ¡ Ê ±µ ½ ´ ï ³ µ Ê ý ½ ¾ Æ ù Ã ¿ Ð ¡ Ê ±² þ Î ñ ³ µ Ê ý ½ ¾ Æ ù Í £ Á ô Ê ±¼ ä ½ ¾ Æ ù Í £ Á ô Ñ ²Ó Ã ¦ µ Ã Ä ¸ Å Â Ê É ± ¿ ä ² Ñ Ó Ã Ü ² ³ Ñ Ó Ã
运筹学
第九章 排队论
输入



顾客来源 有限/无限 顾客到达规则 一次到达人数 到达规律 顾客的行为 是否进入系统 是否为一次性行为
运筹学
第九章 排队论
Leabharlann Baidu
排队



队列容量 有限/无限 排队规则 先来先服务 后来先服务 随机服务 有优先权的服务 队列规则
运筹学
第九章 排队论
队列规则
一队排列，依次服务
运筹学
第九章 排队论
共同特点
有两个独立的行为主体—顾客和服务者； 需求是不确定的，何时来、来几个是不确定的； 服务时间是变化的 服务完成后立刻离开 ---随机服务系统

运筹学
第九章 排队论
基本组成
排队系统 输入 来源
顾客 队列
服务机构
服务完离开
服务过程的三个基本阶段. •输入
•排队
•服务
2
n Pn n P0

P0 n 1
n0
n 0
n P0 1 n 0
n

运筹学
第九章 排队论
若
1
n n0

1 1
P0
1
n 0


1
n
Pn n (1 )
运筹学
第九章 排队论
基本参数

平均队长—系统平均的人数

2 1 Var(T )
E (T )
1
fT(t)
P(T t ) 1 et
E (T ) 1

t
运筹学
第九章 排队论
指数分布性质1
fT(t) 是一个严格下降函数
P(0 T t ) P(t T t t )
fT(t)

t
t