钢构件的排料问题-2015年5月1日数学建模

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

承诺书

我们仔细阅读了第八届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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武汉工业与应用数学学会

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会

第八届华中地区大学生数学建模邀请赛

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竞赛评阅编号：

钢构件的排料问题

摘要

本文针对三种不同的约束条件下的板料布局切割问题，根据底部填充原则，即采用优化后的BL算法模型来求解问题。

问题一，只考虑板料在以宽度为基准的条件下，针对矩形零件以宽度在下为原则来布局。首先，根据矩形零件特征，依据其长度长短宽度大小的顺序提取，其次，将排好的零件依次摆置在板料宽度中，并每一次加以判断剩余宽度并根据与数组中元素对应的宽度比较进行撤出和撤入选择，最后不断撤出撤入对板料填充，最终得到优化算法后的板料摆放格局。

问题二，考虑不规则的零件摆放，采用最小包络矩形的方式将不规则零件规则化，且既有零件的宽度为底摆置也有零件的长度为底摆置。首先，进行单个不规则零件的最小包络矩形化，采用问题一中的方式对最小矩形进行摆放，由于最小包络矩形误差大，无法在一板料下摆放，否定此种做法，其次，采用不规则零件各自两两拼接再进行最小包络矩形化，并对问题一中的算法进一步优化，运用0-1整数规划的方式对零件的长宽组合和与板料宽度差值分别筛选并运用底部填充和剩余宽度最小原则摆放，进行简单人工干预，最终得到进一步优化算法的板料摆放格局。

问题三，在问题二的优化算法后，考虑变化为规定零件在两板料摆放。首先，在问题二中的长宽组合和与板料宽差值方式基础上采用底部填充，剩余宽度最小以及高度差最小原则对在单个板料先进行摆放，其次，在对板料宽已填充满的那部分矩形组合上的阶梯状矩形按利用率最大的原则重复组合摆放，进行简单的人工干预，最终得到推广的优化算法的板料摆放格局。

为了提高对模型求解准确性和明了性，本文采用Matlab算法对摆放布局一步一步动态摆放规定矩形。

本文的优点在于运用以简单的算法并采用不断优化的方式，针对零件的多样性和复杂性优化摆放格局，不同的问题求解不同之处仅仅是其所规定的零件规格不同。

关键词： BL算法矩形件优化排样底部填充

1问题重述

1.1背景

在钢构件制造产品的生产过程中，依照产品零件尺寸从板料中截取大小适当的零件过程称之为排料，也称之为下料。排料是钢构件制造的第一道工序。在这道工序中，不同的排料方案具有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影响产品的成本。对于一个年消耗大量钢材的生产单位，若能够提高原料利用率的1%，那么其节约的钢材成本是可观的。因此，降低废料率提高原材料利用率是钢构件生产企业追求的目标。根据实际情况，板材排料又可分为两种：一是规则形状的零件排料，一是不规则形状的零件排料。

规则形状零件是指矩形零件。其描述一般只需用矩形的长和宽。规则形状零件的排料问题的实质是研究如何组合零件摆放问题，使得在整个原料上摆放大量的不同长和宽的零件产生的废料最少、整料和余料的利用率最高。排放时，其零件间的搭接关系的处理相对容易，只需考虑长、宽两个因素（含预留的损耗量）。

不规则零件在这里是指多边形零件（一般的意义是指由直线、圆、弧、孔等的组合形），相对矩形零件排料而言，不规则零件的直接排料要复杂得多。

另外由于切割工艺的要求，切割只能实行“一刀切”的工艺（在整料或余料中，从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，但可以在切割下来的板料中再次切割）。板材的利用率就是所有零件面积之和与在一刀切工艺后继续切割的那部分板材面积的比值。(即所有零件的面积为S1，在对板材进行多次一刀切工艺，不能再进行一刀切的板料的面积为S2，利用率=S1/S2)

1.2所需要解决的问题

(1) 对1张板料和若干规则形状零件（板料和零件参数见附件1），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

(2) 对1张板料和若干不规则形状零件（板料和零件参数见附件2），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

(3) 对2张板料和若干规则形状零件（板料和零件参数见附件3），如何在板料中摆放零件使其板料的利用率最高。

2.问题分析

在制造工业需要大量钢构件制造产品，工厂要生产产品零件，就要从板料中截取大小适当排料来生产零件，在生产中其原材料的利用率与生产企业的成本是密切相关的，故生产企业的目的就是要提供高质量的排料方案来节约材料，降低成本来提高经济效益与社会效益。故要解决的就是优化板材的使用效率。

另外由于切割工艺的要求，切割只能实行“一刀切”的工艺（在整料或余料中，从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，但可以在切割下来的板料中再次切割）。如下图所示：

2.1针对问题一的分析

鉴于题目所定义的板材的利用率就是所有零件面积之和与在一刀切工艺后继续切割的那部分板材面积的比值。针对一张板料是固定的，故要考虑到让规则的矩形零件尽量合理紧密的排列，让矩形零件尽量无间隙的排列在一起。故可以利用BL算法来进行排列，但是有缺陷,有些最优排样图是无法得到的，故要对BL算法进行改进可以根据矩形的长度与宽度对矩形进行排序，在对其进行有规律的排序即可得出。

2.2针对问题二的分析

由于题目所提供的是五边形与六边形，故在问题一的基础之上，可以用矩形来包络五边形与六边形，可以设计算法来找到最小的矩形来包络该五边形与六边形。后通过对其运算后在板料上是无法排列出来的。故对之前的最小矩形包络进行优化，得出对五边形与六边形各自进行两两拼接，设计算法找到最小的矩形来包络拼接后的图形。

2.3针对问题三的分析

由于题目提供了两块大小一致的板材，所提供的零件是规则的矩形，在此问题中比问题一板材增加了一块板，故在问题一的基础上还应考虑到零件如何更加合理的分配到两块板材上，使得零件分布在两块板材上的利用率比在一块板材上分布的利用率更高，故这里要涉及到分配的问题，不同的分配方式会有不同的利用率结果。基于问题一要应用运筹学中的0-1规划来考虑分配。