求函数零点的几种方法

函数零点

一、知识点回顾

1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

注意：（1）零点不是点；

（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(<⋅b f a f , 那么, 函数)(x f y =在区间(a, b)内至少有一个零点．

3、一个重要结论：若函数)(x f y =在其定义域内的某个区间上是单调的，则)(x f 在这个区间上至多有一个零点。

4、等价关系：函数)()()(x g x f x F -=有零点⇔方程0)()()(=-=x g x f x F 有实根⇔方程组⎩⎨⎧==)

()(21x g y x f y 有实数根⇔函数)(1x f y =与)(2x g y =的图像有交点。 二、求函数)(x f y =零点的方法

1、解方程0)(=x f 的根；

2、利用零点存在性定理和函数单调性：

3、转化成两个函数图像的交点问题。

三、典例分析

例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表：

则不等式02

>++c bx ax 的解集是

例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．

变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．

2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）

A ．a b αβ<<<

B ．a b αβ<<<

C ．a b αβ<<<

D ．a b αβ<<<

3．函数012)(≠++=a a ax x f ，，若在11≤≤-x 上，)(x f 存在一个零点，则实数a 的取值范围是

例3 函数2

6

x y =和2log y x =的图象的交点有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

变式：

1、 若方程8x x b =+有两个不相等的实数根，求b 的取值范围．

2、 已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.

若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m m 的取值范围是 ．

练习

1．已知函数)(x f 为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．

2.函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求a 的取值范围；

3．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，+∞)

4.x

x x f 1lg )(-=零点所在区间是（ ）. A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞

5.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间

（A ）(,)a b 和(,)b c 内 （B ）(,)a -∞和(,)a b 内 （C ）(,)b c 和(,)c +∞内 （D ）(,)a -∞和(,)c +∞内