第4章 杆件的应力与强度计算

梁上任一截面中cc线上的 切应力计算公式为：

式中
* Fs S z
bh IZ , 12
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I z b3
2 b h * 2 Sz y 2 4
式中 ： Fs――为截面的剪力； Sz―― 为面积A* 对中性轴的静矩； A*――是过欲求应力点的水平线与截面边缘间的面 积；
称为泊松比
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4、胡克定律
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 （由实验测定），EA称为抗拉（压）
刚度。
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四、材料的力学性能
15
16
一、拉伸时材料的力学性质 1．应力-应变曲线 讨论低碳钢（Q235钢）试件的拉伸图如图a) 为了消除试件的横截面尺寸和长度的影响，将拉伸图改为 σ- ε 曲线，下面根据σ- ε 曲线来介绍低碳钢拉伸时的力学 性质。低碳钢拉伸试件从加载开始到最后破坏的整个过程 ，大致可以分为四个阶段：
1）弹性阶段（ Ob段） b点所对应的应力称为材 料的弹性极限（ ）
FN1 FP1 50kN
FN 2 Fp1 Fp 2 150kN
2)求应力
FN 1 50103 1 A1 240 240
FN 2 150103 2 A2 370 370 1.1MPa
0.87MPa
7
二、 轴向拉压杆斜截面上的应力
中性轴愈远就愈大，在中性轴上正应力等于 零。
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Iz－截面对中性轴的惯性矩;
I z y dA
2 A
矩形截面的惯性矩：
bh Iz 12
3
hb Iy 12
3
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1)对于梁的某一横截面来说，最大正应力发生在距中性轴 最远的地方，其值为： My
max
max
IZ
2)对于等截面梁，最大正应力发生在弯矩最大的截面上，其 值为：
（4）当 = 90°时， 0,

x
2 0
k
11
三、轴向拉压时的变形
h1
F
h
b b1
F
l
l1
1、纵向变形
纵向绝对变形
Δl l1 l
Δl l
12
纵向应变（线应变）
h1
F
h
b b1
F
l
l1
2、横向变形
横向变形 横向应变
3、泊松比
b b1 b b1 b Δb b b
量纲： 通常用 有些材料 力/长度2＝N/m2 ＝ Pa MPa＝N/mm2 ＝ 10 6 Pa GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa
3
§4–2轴向拉压杆的应力与强度条件
一、横截面上的应力 求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。 应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以可以由观察杆 件变形来确定应力在截面上的分布规律。 观察到如下现象： 1）横向线缩短，但仍保持 为直线，且仍互相平行并垂 直于杆轴线。 2）纵向线仍保持与杆轴线 平行，且各纵向线伸长。
2）截面选择 在已知荷载、材料的容许应力的情况下，由 来确定杆件的最小横截面面积。
A

FN
3）确定容许荷载
在已知杆件的截面面积和材料容许应力的情况下，由
FN A 来求出杆件的最大荷载值。
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例：一直径d=14mm的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴 向拉力FP=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。 解：
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推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部
分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短, 保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴。（见下图） 中性轴将横截面分为受
压和受拉两个区域。
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2.梁的正应力计算公式
My IZ
式中 M－截面的弯矩； Iz－截面对中性轴的惯性矩； y－欲求应力的点到中性轴的距离。 正应力与M和y成正比，与 Iz成反比。正 应力沿截面高度呈直线分布，如图所示，距
应力超过σb 之后，试件开始出现非均匀 变形，可以看到在试件的某一截面开始明显 的局部收缩，即形成颈缩现象（如图）。曲 线开始下降，最后至f点，试件被拉断。
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2.脆性材料的力学性能
脆性材料自加载至试件被 拉断，试件变形很小。只 有断裂时的应力值，称为 强度极限，用σb表示
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材料的延伸率和截面收缩率 延伸率 ( L1 L) 100 % L
p lim
A0
F A
将应力分解为垂直于截面和相 切于截面的两个分量。垂直于 截面的应力分量称为正应力， 用 σ 表示，与截面相切的应 力分量称为剪应力，用τ 表 示。
2
应力的符号规定：正应力以拉为正，压为负。当切应力使 隔离体有绕隔离体内一点顺时针转动趋势时，该切应力为 正；反之为负。
横向线 ，变形后仍为直线 ，且它们相对转动了一个 角度后仍与弯曲了的纵向 线正交。
28
根据上述现象，作如下假设： 梁在纯弯曲时的平面假设：
梁变形前的截面在变形后仍为一平面，只是绕截面内的某一 轴旋转了一个角度，并且依然与弯曲后的杆件轴线垂直。 单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单 向受拉或受压的状态。
称为理论应力集中因数 2、材料的影响： 应力集中对塑性材料的影 应力集中对脆性材料 响不大； 的影响严重，应特别注意。
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目录
§4-5 梁的应力与强度计算
梁在垂直于杆轴线的外荷载作用下，在横截面上一般要产生两 种内力：弯矩和剪力，从而，在横截面上将存在两种应力：正应
力和切应力。
一、梁的正应力与强度计算 为了使研究问题简单，下面以
b――为截面的宽度；
Iz ――为截面对中性轴的惯性矩。
3Fs 4 y 2 1 2 2bh h
max
3 Fs 3 Fs 2 bh 2 A
剪力和面积矩均为代数量，在计算切应力时，可用绝对值代 入，切应力的方向可由剪力的方向来确定，即τ与Fs方向一致。 进一步的分析表明，矩形截面梁中的切应力沿截面高度按二次抛 物线规律分布，在截面上下边缘处，切应力为零，在中性轴处， 切应力最大，为截面平均切应力的1.5倍。
第 4章
杆件的应力与强度计算
§4–1 应力的概念 §4–2 轴向拉压杆的应力与强度条件 *§4–3 剪切与挤压的概念
*§4–4 圆轴扭转时的应力与强度计算
§4–5 梁的应力与强度计算
§4–6 组合变形杆的应力与强度计算
1
§4–1 应力的概念
一、应力的概念
应力是反映截面上各点处分布内力的集度，
如图 B点处的应力为：
沿截面切线方向的切应力 F
k

k pα
x
p sin

2
sin2


pα

9
k
2.符号的规定 （1）α角 自 x 转向 n 逆时针时 为正号 顺时针时 为负号
F

F
k n
拉伸为正 （2）正应力 压缩为负
F
k

k pα
x
（3）切应力 对研究对象任一点取矩 顺时针为正
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4、压缩时材料的力学性质
by ---铸铁压缩强度极限；
by（4 — 5） bl
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五、轴向拉压杆的强度条件
强度条件：
max
FN [ ] A
式中： max ---- 称为最大工作应力
[ ] ------ 称为材料的许用应力
FN -----杆件横截面上的轴力； A――杆件的危险截面的横截面面积；
M max ymax M max max IZ Wz
IZ Wz－－抗弯截面系数， Wz ymax
Wz与梁的截面形状有关，Wz愈大，梁中的正应力愈小。
矩形截面:
IZ bh2 WZ y max 6
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二、矩形截面梁的切应力计算及切应力强度条件
1．矩形截面梁的切应力计算公式 假设： 1）截面上各点切应力的方向都平行于截面上剪力的方向。 2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点处 的切应力相等。
e
a点所对应的应力叫做比例 极限（ p ）

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2）屈服阶段（cd段） 当应力超过弹性极限之后，应变增加很快，而应力保持在 一个微小的范围内波动，这种现象称为材料的屈服，在曲线上 表现为一段近于水平的线段。 c点所对应的应力称为屈服极限，用σs 来表示。
3）强化阶段（de段） 材料经过屈服阶段后，其内部的组织结构有了调整，使其又 增加了抵抗变形的能力，在曲线上表现为应力随着应变的增加 ，这种现象称为材料的硬化。最高点e所对应的应力称为材料的 强度极限，用σb来表示。 4）颈缩阶段（ef段）
( A1 A) 100 % A δ和ψ是衡量材料塑性性能的两个主 要指标，δ和ψ值越大，说明材料的 塑性越好。
截面收缩率
颈缩现象
工程上常把δ≥5%的材料称为塑性材料 而把δ<5%的材料称为脆性材料
Hale Waihona Puke Baidu20
3．冷作硬化 若使材料应力超过屈服阶段并在进入强化阶段后卸载，则当 再度加载时，材料的比例极限和屈服极限都将有所提高，同 时，其塑性变形能力却有所降低，这种现象称为材料的冷作 硬化。工程中常用冷作硬化的方法来提高钢筋和钢丝的屈服 强度，并把它们称为冷拉钢筋和冷拔钢丝。
max
3 FN max 2.5 10 162MP a < [ ] A 142 106 4
满足强度条件。
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六、应力集中的概念
常见的油孔、沟槽 等均有构件尺寸突变， 突变处将产生应力集中 现象。即
Kt
max m
1、形状尺寸的影响： 尺寸变化越急剧、角 越尖、孔越小，应力集中 的程度越严重。
为了解决构件的强度和变形问题，必须了解材料的一些力学 性质，而这些力学性质都要通过材料实验来测定。工程材料 的种类虽然很多，但依据其破坏时产生变形的情况可以分为 脆性材料和塑性材料两大类。脆性材料在拉断时的塑性变形 很小，如铸铁、混凝土和石料等，而塑性材料在拉断时能产 生较大的变形，如低碳钢等。这两类材料的力学性质具有明 显不同的特点，通常以低碳钢和铸铁作为代表进行讨论。 试验条件及试验仪器： 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
矩形截面梁为例，先研究纯弯梁 横截面上的正应力。 纯弯梁：是指受力弯曲后，横截面 上只有弯矩而没有剪力的梁，如图 所示AB梁的CD段。
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1.梁的弯曲变形现象及应力计算假设
观察到以下变形现象: 1）变形前互相平行的纵
向线在变形后都变成了弧 线且靠上部的纵向线缩短 了，靠下部的纵向线伸长 了。
2）变形前垂直于纵向线的
对等直杆来讲，轴力最大的截面就是危险截面；对轴力不变
而截面变化的杆，则截面面积最小的截面是危险截面。
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根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：
1)强度校核
在已知荷载、杆件截面尺寸和材料的容许应力的情况 下，验算杆件是否满足强度要求。若σ≤[σ] ，则杆件满足 强度要求；否则说明杆件的强度不够。


pα
10
逆时针为负
讨
论
p cos cos2
p sin
2 sin2
（1）当 = 0° 时， max （2）当 = 45°时， max 2

F
k
n


min （3）当 = -45° 时，
1. 斜截面上的应力
k
以 pα表示斜截面 k - k上的 F 应力，于是有 F
F

k
p
A
k
A A cos
F F
F
F F p cos cos A A
Fα
k pα
8
k
将应力 pα分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力
F

F
k n
p cos cos2
正应力的计算公式为：
FN A
式中：FN ----轴力；A---杆件的横截面面积 正应力的正负号与轴力FN相同，拉为正，压为负。
6
例 图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为240240mm ， 承受荷载FP1＝50kN；下段370370mm，承受荷载FP2＝ 100kN。试求各段轴力和应力，并绘制轴力图。 解：1)求轴力
4
平面假设： 变形前为平面的横截面， 变形后仍保持为平面， 且垂直于杆轴线。
设想杆件由无数根平行于轴线的纵 向纤维组成
结论：轴力垂直于横截面，所以应力也垂直于 横截面，所以横截面上只有正应力。轴向拉伸
时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大 小相等
5
平面假设
各纤维伸长相同
各点内力相等
应力在横截面 上均匀分布