数学分析课件：3_4微分中值定理
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即f ( ) f (b) f (a) .
ba
证明2：
f ( x)(b a) [ f (b) f (a)]是谁的导数?
令F ( x) f ( x)(b a) [ f (b) f (a)] x
F (a) f (a)b f (b)a
满足罗尔中值定理
F (b) f (a)b f (b)a
(1)极值为局部性质,最值为整体性质; (2)在I内部,最值必为极值.
2.Fermat引理(费马)
f在x0处源自文库导,且x0是极值点 f ( x0 ) 0
证明: 设x0为极大值点 由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
1 (0, ),2 ( ,1), s.t Q(1 ) Q(2 ) 0.
0 1
2 1
Q(0) Q(1 ) Q(2 ) Q(1) 0,
Q(n1)有0 1 2 n1 1, n 1个相异零点.
Q(n) ( x)至少有n个相异零点.
例8（广义罗尔定理）若 f x 在 a, 上在连续，
证明：
Q(m) ( x)
m! n! xni n! (1 x)n j (1) j , (m n)
i jm i! j! (n i)! (n j)!
Q(m) (0) Q(m) (1) 0, m 0,1,2,, n 1.
Q(0) Q(1) 0, (0,1),Q( ) 0.
Q(0) Q( ) Q(1) 0,
2009/12/04
§3.4 微分中值定理
一、费马引理
1.极值与极值点
设 x0 I ,如果存在U ( x0 , ) I , 使得对x U ( x0 , ), 总有 f ( x0 ) f ( x), 称f ( x0 )是f在I上的极大值,
x0称为极大值点. 类似可定义极小值、极小值点. 极值和最值的区别
由极限的性质
x1 x0, f x1
故由介值定理
2, f 2 ,2 x0,
由Rolle定理：
结论得证
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
设f C[a,b], 在(a,b)内可导, 则 (a, b), 使
f (b) f (a) f ( ), 或 f (b) f (a) f ( )(b a).
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
点击图片任意处播放\暂停
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
y
1 x,
若 f ( x) 0,x (a, b),则对x1 x2 , x1 , x2 (a, b)，
2 b
x
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
证明1：
令F ( x) f ( x) y f ( x) f (a) f (b) f (a) ( x a), ba
此时 F (a) F (b) 0, F C[a,b], 且在(a,b)内可导.
(a, b), 使F( ) 0.
(a,b),使F ( ) 0.
即f ( )
f (b) f (a) . ba
推论1 f C[a,b], 在(a,b)内可导,则
f在[a, b]上 c f ( x) 0, x (a,b).
证明： 若 f ( x) c, x [a,b],则 f ( x) 0, x (a,b).
可导， lim f x f a a,, f ' 0. x
证明：（1）若f x f a 结论成立
（2）若f x f a,x0 a,, f x0 f a，f x0 f a
取
1
2
f
a
f
x0 ,
f
a
f
x0
故由介值定理 1 a, x0 , f 1
由于 lim f x f a x
ba
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点C,在该点处的切 A
y f (x) B
D
线平行于弦 AB.
o a 1
2 b
x
分析:
y
条件中与罗尔定理
C
y f (x)
M
B
相差 f (a) f (b).
A
N
D
弦AB方程为
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba
证明： 令F ( x) xf ( x),
F (0) F (1) 0, F C[0,1], 在(0,1)可导, c (0,1),使F (c) 0.
即f (c) f (c) . c
例4 Q( x) xn (1 x)n , n N *
求证Q(n) ( x)在(0,1)内至少有n个相异零点.
0,
x x
(0,1] ;
0
y x, x [0,1].
例1 证明：如 f可导,则 f ( x)的任意两个相邻零点间 至少存在f 的一个零点.
证明：设f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0, f C[x1, x2 ], 且在( x1, x2 )可导, 由Rolle定理，知 ( x1 , x2 )使f ( ) 0.
进而可知：若f有n个零点 f 至少有n 1个零点， f 至少有n 2 个零点， f (k)至少有n k个零点.
例2 设f在[0,1]连续, (0,1)内可导, 且f (1) 0. 求证c (0,1), 使f (c) f (c) c
思路：构造辅助函数
将c记为x f ( x) xf ( x) 0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
当x
( x0 ,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
(
x0
)
0.
驻点
二、罗尔(Rolle)中值定理
设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b), 则 (a,b), 使f ( ) 0. 证明: f C[a,b], 必有最值m、M. 若M m, f ( x) c, (a,b), f ( ) 0. 若M m,由f (a) f (b), f在内部必取得M或m, (a,b), 使f ( ) 0.
ba
证明2：
f ( x)(b a) [ f (b) f (a)]是谁的导数?
令F ( x) f ( x)(b a) [ f (b) f (a)] x
F (a) f (a)b f (b)a
满足罗尔中值定理
F (b) f (a)b f (b)a
(1)极值为局部性质,最值为整体性质; (2)在I内部,最值必为极值.
2.Fermat引理(费马)
f在x0处源自文库导,且x0是极值点 f ( x0 ) 0
证明: 设x0为极大值点 由定义知, 0,当x U( x0 , )时, 有f ( x0 ) f ( x).
当x
(
x0
,
x0
)时, lim x x0
1 (0, ),2 ( ,1), s.t Q(1 ) Q(2 ) 0.
0 1
2 1
Q(0) Q(1 ) Q(2 ) Q(1) 0,
Q(n1)有0 1 2 n1 1, n 1个相异零点.
Q(n) ( x)至少有n个相异零点.
例8（广义罗尔定理）若 f x 在 a, 上在连续，
证明：
Q(m) ( x)
m! n! xni n! (1 x)n j (1) j , (m n)
i jm i! j! (n i)! (n j)!
Q(m) (0) Q(m) (1) 0, m 0,1,2,, n 1.
Q(0) Q(1) 0, (0,1),Q( ) 0.
Q(0) Q( ) Q(1) 0,
2009/12/04
§3.4 微分中值定理
一、费马引理
1.极值与极值点
设 x0 I ,如果存在U ( x0 , ) I , 使得对x U ( x0 , ), 总有 f ( x0 ) f ( x), 称f ( x0 )是f在I上的极大值,
x0称为极大值点. 类似可定义极小值、极小值点. 极值和最值的区别
由极限的性质
x1 x0, f x1
故由介值定理
2, f 2 ,2 x0,
由Rolle定理：
结论得证
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
设f C[a,b], 在(a,b)内可导, 则 (a, b), 使
f (b) f (a) f ( ), 或 f (b) f (a) f ( )(b a).
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
物理解释:
y f (x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
点击图片任意处播放\暂停
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
y
1 x,
若 f ( x) 0,x (a, b),则对x1 x2 , x1 , x2 (a, b)，
2 b
x
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
证明1：
令F ( x) f ( x) y f ( x) f (a) f (b) f (a) ( x a), ba
此时 F (a) F (b) 0, F C[a,b], 且在(a,b)内可导.
(a, b), 使F( ) 0.
(a,b),使F ( ) 0.
即f ( )
f (b) f (a) . ba
推论1 f C[a,b], 在(a,b)内可导,则
f在[a, b]上 c f ( x) 0, x (a,b).
证明： 若 f ( x) c, x [a,b],则 f ( x) 0, x (a,b).
可导， lim f x f a a,, f ' 0. x
证明：（1）若f x f a 结论成立
（2）若f x f a,x0 a,, f x0 f a，f x0 f a
取
1
2
f
a
f
x0 ,
f
a
f
x0
故由介值定理 1 a, x0 , f 1
由于 lim f x f a x
ba
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点C,在该点处的切 A
y f (x) B
D
线平行于弦 AB.
o a 1
2 b
x
分析:
y
条件中与罗尔定理
C
y f (x)
M
B
相差 f (a) f (b).
A
N
D
弦AB方程为
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba
证明： 令F ( x) xf ( x),
F (0) F (1) 0, F C[0,1], 在(0,1)可导, c (0,1),使F (c) 0.
即f (c) f (c) . c
例4 Q( x) xn (1 x)n , n N *
求证Q(n) ( x)在(0,1)内至少有n个相异零点.
0,
x x
(0,1] ;
0
y x, x [0,1].
例1 证明：如 f可导,则 f ( x)的任意两个相邻零点间 至少存在f 的一个零点.
证明：设f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0, f C[x1, x2 ], 且在( x1, x2 )可导, 由Rolle定理，知 ( x1 , x2 )使f ( ) 0.
进而可知：若f有n个零点 f 至少有n 1个零点， f 至少有n 2 个零点， f (k)至少有n k个零点.
例2 设f在[0,1]连续, (0,1)内可导, 且f (1) 0. 求证c (0,1), 使f (c) f (c) c
思路：构造辅助函数
将c记为x f ( x) xf ( x) 0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
当x
( x0 ,
x0
)时, lim x x0
f
(
x) x
f( x0
x0
)
0,即
f
(
x0
)
0
f ( x0 )
f
'
(
x0
)
f
'
(
x0
)
0.
驻点
二、罗尔(Rolle)中值定理
设 f C[a,b], f在(a,b)内可导,且f (a) f (b), 则 (a,b), 使f ( ) 0. 证明: f C[a,b], 必有最值m、M. 若M m, f ( x) c, (a,b), f ( ) 0. 若M m,由f (a) f (b), f在内部必取得M或m, (a,b), 使f ( ) 0.