分析力学之虚功原理

再考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以 刚性轻杆相连的两个质点,并设两质点质量相等, 杆长为l, 当冰刀 在冰面上运动时, 质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向. 选两质 点在冰面上的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则约束条件为
x1 x2 2 y1 y2 2 l 2 1 x 2 x1 x2 x y 2 y1 y2 1 y
前一个约束条件反映杆长不变, 是几何约束, 即完整约束. 后一个约 束条件反映质心速度沿杆的方向, 是运动约束; 由于它是不可积的, 即不能化为几何约束, 因而是非完整约束. 后一个约束也可表为
dx1 dx2 x1 x2 dy1 dy2 y1 y2
这意味着它是对无限小变化的限制.
第十三讲
虚功原理
本讲导读
• 约束的概念 • 自由度和广义坐标 • 实功, 虚功和虚功(虚位移)原理 • 拉格朗日乘子与约束力
一、为什么要学习分析力学?
前面是按“牛顿方式”研究力学问题, 它着重分析力、动量、 速度、加速度、角动量、力矩等矢量, 称作“矢量力学”. 它运 用牛顿运动定律处理力学问题, 称作“牛顿力学”. 实际力学系统往往存在限制 (约束),而约束力又取决于运动情 况 , 它们作为未知量出现于运动方程中 , 牛顿方式对于受约束的 力学系统并不方便. 建立了运动方程,并不意味大功告成.因为还没有一般方法求得 运动微分方程的解. 如何寻找方程的积分以及利用这些积分,如何 定性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中极为重要的 课题.牛顿方式在这些问题上会遇到困难． 研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基本 观念都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实——相对论效 应,波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一种理论, 它能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力学——相 对论力学、量子力学等．
式中x0和y0是盘心的坐标. 这两个微分关系是不能积分的. 因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原 处时，盘心坐标(x0，y0)和角都可以回复到原来的值，但 却未 必也恰好回复原值. 这就是说，在x0, y0, 和之间并不存在一种确 定不变的关系. 这种运动约束是不可能积分的.
,t 0 f r1 , r2 , r3 ,, rn ; r1 , r2 , r3 ,, r n


(5.1)
——约束方程, 坐标和速度必需满足的条件称为约束条件.
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对各质点的 速度没有限制, 这种约束称为几何约束, 其数学表示式是
Leabharlann Baidu 分析力学的发源
1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析 力学的著作。分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础 上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种 系统的动力方程。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想 约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动 力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。 1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力 学方程，称为正则方程。汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表 一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。 从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到 1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已 完成了线性非完整约束的理论。 20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进 一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。
二、约束的概念
机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束.
约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般 不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力. 因此, 对于动 力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑. 一个质点可用矢径r或三个坐标表示, n个质点组成的 系统, 则由n个矢径或3n个坐标描述, 它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状——确定系统的位形. 位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于n个质点的系 统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态．
分析力学 analytical mechanics
一般力学的一个分支。以广义坐标为描述质点系的变量，以 虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏 观现象中的力学问题。 1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力 学》为这门学科奠定了基础。1834年和1843年W.R.哈密顿建立 了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进一步。1894年H.R. 赫兹提出将约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开 始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力 学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方 程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。近20年来，又 发展出用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法。 分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。 它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体 系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
3n
(5.3)
有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑 动地滚动的约束方程很容易积分为
x0 R C
化成几何约束的约束方程.
可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别, 合称为完 整约束. 不可积的运动约束, 即不能化为几何约束的运动约束, 它 们在物理实质上不同于几何约束,称为非完整约束. 几何约束和运动约束的分类是按数学表达形式来分类, 完整约 束和非完整约束的分类是按物理实质来分类.
为压力。
3、圆柱铰链约束
固定铰支座
上摆 销钉
下摆
固定铰支座的约束反力 通过销钉中心，在垂直销 受力分析 钉轴线的平面内，方向不
定。
中间铰
销钉
滚动铰支座
上摆 销钉 底板 滚轮
分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取 得的成果的一部分 , 在一定程度上解决了上述问题 (并末 全部解决,有关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统 在完全一般性的广义坐标下具有不变形式的动力学方程 组，并突出了能量函数的意义.
分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力 学的数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力 学及一系列动力学问题的较佳途径, 同时给量子力学的发 展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板. 其最小 作用量原理提供了建立相对论力学和量子力学最简练而 富有概括性的出发点. 直到最近 , 分析力学在非线性非完整系统中的研究 , 非保守系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象 的研究等等, 正在丰富分析力学的内容, 且大大开阔它的 应用范围.
约束与约束反力的概念
阻碍物体运动的周围物体——约束
约束对物体的作用力 称为约束反力 简称反力 约束反力的方向总是与约束所能阻止物 体的运动方向相反
几类平面约束
1、柔性体约束
绳索、链条、皮带
绳索的约束反力
沿绳索中心线，离
开物体，为拉力。
2、光滑面约束
光滑接触的约束反力 通过接触点，沿接触面
在该点的公法线方向，
给定了某一时刻的坐标和速度, 由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度, 以此类推, 当知道 某一时刻的状态, 就知道了系统在任一时刻的状态．
几乎所有的力学系统都存在着约束。 例如, 刚体内 任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接, 轮子无滑 动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对状态的 限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制 , 其数学表示式是
约束还分为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束不直接依赖于 时间, 其数学表达式不显含时间; 不稳定约束则明显依赖于时间, 其数学表达式显含时间.
此外，约束还可分为单侧约束(可解约束)和双侧约束(不可解). 单侧约束只在某一侧限制系统的运动, 至于向另一侧的运动则是 完全自由的. 例如单摆的不可伸长的悬绳限制摆球不得向绳伸长 的方向运动，但向绳缩短的方向运动却是自由的. 单侧约束的数 学表示式是不等式, 一般可写为
对非完整约束举例 具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无 滑动地滚动, 则圆盘的着地点的速度为零. 薄圆盘的盘面是可以转动的, 但如盘面始 终保持竖直, 着地点的速度为零,可表为
0 v0 R
把上式投影到x轴和y轴上,得
cos 0 0 R x sin 0 0 R y
0 0 R x
运动约束亦称为微分约束或速度约束． 几何约束的约束方程虽然不显含速度 项, 但实际上它在对位置限制的同时也 对系统的速度给予了限制, 事实上, 由式 (5.1)对时间求全导数, 得
f dxi f dyi f dzi f 0 yi dt zi dt t i 1 xi dt
三、约束力
根据牛顿定律 , 一切影响质点机械运动的因素都归 结为力. 因此约束作用也可以归结为力. 约束力的大小 随力学系统违背约束的趋势的不同而自动调节, 使约束 条件总是得以满足. 因此出现在运动方程中的约束力不 可能预先给定 , 它只能从运动方程并结合约束方程解出 来. 一般将作用于第i个质点的约束力记作Ri, 而把作用 于同一质点的其余的力称为主动力，记作Fi. 有的资料 把约束力称为约束反力，因为这种力是体现约束条件的 实体跟违背约束趋势对抗的反作用力.
f r1 , r2 , r3 ,, rn ; t 0
2 2 ri rj rij 0
(5.2)
例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束.
对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有限制的, 则 称为运动约束, 其中显含速度. 例如半径为R的圆柱在地面上沿着 直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零.
分析力学的主要内容 ：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日 方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密 尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程 的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以 判别系统的稳定性等。 分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离 体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。 分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。它的优点 是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪 60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且 跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方 便地应用电子计算机进行计算。 在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。 从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代 了分析力学。但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。例如 用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可 比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。 爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光 速的相对论力学。
,t 0 f r1 , r2 , r3 ,, rn ; r1 , r2 , r3 ,, r n


(5.3)
称为约束不等式. 单侧约束是有可能解除的. 约束是否解除或者何 时解除, 需要从运动方程解出约束力, 再从约束力的指向是否正确 来判断. 双侧约束限制着不论哪一侧的运动,其数学表示式是 (5.1) 或(5.2)所示的约束方程.